458.可怜的小猪:进制猜想&香农熵验证

「这是我参与11月更文挑战的第 25 天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。

题目描述

这是 LeetCode 上的 458. 可怜的小猪 ，难度为困难。

Tag : 「数学」

有 buckets 桶液体，其中正好有一桶含有毒药，其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。

为了弄清楚哪只水桶含有毒药，你可以喂一些猪喝，通过观察猪是否会死进行判断。不幸的是，你只有 minutesToTest 分钟时间来确定哪桶液体是有毒的。

喂猪的规则如下：

选择若干活猪进行喂养
可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水，并且该过程不需要时间。
小猪喝完水后，必须有 minutesToDie 分钟的冷却时间。在这段时间里，你只能观察，而不允许继续喂猪。
过了 minutesToDie 分钟后，所有喝到毒药的猪都会死去，其他所有猪都会活下来。
重复这一过程，直到时间用完。

给你桶的数目 buckets ，minutesToDie 和 minutesToTest ，返回在规定时间内判断哪个桶有毒所需的最小猪数。

示例 1：

输入：buckets = 1000, minutesToDie = 15, minutesToTest = 60

输出：5
复制代码

示例 2：

输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 15

输出：2
复制代码

示例 3：

输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 30

输出：2
复制代码

提示：

$1 <= buckets <= 1000$
$1 <= minutesToDie <= minutesToTest <= 100$

数学

考虑到部分有宗教信仰的同学（我不是🤣），我们用实验对象来代指题干的小动物。同时为了方便，我们使用

n

代指有多少桶水，

d

为实验对象的反应时间，

t

为测试总时间。

根据题意，最大测试次数为

k = \left \lfloor \frac{t}{d} \right \rfloor

我们可以先考虑

k = 1

$的情况，最简单的情况是，我们使用与水同等数量的实验对象数量来进行测试。$

此时哪个实验对象有反应，则可以推断出哪一桶水有问题。

但这样的测试方式，每个实验动物承载的信息量是很低的，每个实验对象仅承载了某一桶水是否有问题。

为减少实验对象数量，我们需要增大每个实验对象承载的信息量（让每个实验对象同时测试多桶水），然后从最终所有实验对象的状态（是否有所反应）来反推哪一桶水有问题。

用最小单位表示最大信息量，这引导我们使用「进制表示」相关方式。由于我们只有

1

次测试机会，因此我们可以使用二进制的方式进行测试。

当

k = 1

$，使用二进制的方式测试哪桶水有问题，我们至少需要$

m

个实验对象（其中

m

为

n

的二进制表示的长度），然后让编号为

x

（

0 <= x < m

x

位为

1

的水。

最终这

m

个实验对象会对应一个结果序列：如果编号

x_1

$的实验对象没有反应，说明有问题的水的二进制表示中第$

x_1

$位为$

0

，如果编号为

x_2

$的实验对象有反应，则说明有问题的水的二进制表示中第$

x_2

$为$

1

。即根据最终每个实验对象的状态，我们可以完整地反推回有问题的水的编号是多少。

当

k > 1

$时，相当于在原问题基础上，多考虑一层「轮数」维度，即不仅考虑某个实验对象是否有所反应，还需要考虑是在哪一轮有所反应。$

我们还是使用「进制表示」的方式来最大化每个单位所能承载的最大信息量。

具体的，我们先使用

k + 1

$进制对所有水进行编号，此时每桶水都有唯一的进制表示编码。然后我们考虑「什么时候」将水喂给「哪个实验对象」。$

其中一种可行的测试方式是：设定需要的实验对象数量

m

为

k + 1

$进制数的长度，若某桶水的$

k + 1

$进制中的第$

x

位为

i

（

0 <= i <= k

i

轮喂给编号为

x

的实验对象。

同理，利用最终的结果矩阵，我们可以反推回是哪一桶水是有问题的。

上述做法，只是阐述了我们存在这样的可行解，需要证明这样的做法是最优解。

利用香农熵，我们可以计算明确熵值，公式为：

H(X) = - \sum_{x}^{} P(x) \log_2[P(x)]

其中

P(x)

代表随机事件

x

的发生概率。

对于本题，记随机事件

A

为

n

桶水中哪一个桶有问题，概率为

\frac{1}{n}

记随机事件

B

为在测试轮数为

k

时，所有实验对象的最终状态，每个实验对象的状态共有

k + 1

$种，即共有$

C = (k + 1)^m

\frac{1}{C}

我们需要求得在满足

H(A) <= H(B)

m

值。

代入公式可得：

-(\log_2{\frac{1}{n}}) <= - \sum_{result = 0}^{(k + 1)^m} \frac{1}{(k + 1)^m} \log_2{\frac{1}{(k + 1)^m}} = m \log_2(k + 1)

移项化简得：

\frac{\log_2{n}}{\log_2{(k + 1)}} <= m

代码：

class Solution {
    public int poorPigs(int n, int d, int t) {
        int k = t / d;
        return (int) Math.ceil(Math.log(n) / Math.log(k + 1));
    }
}
复制代码

时间复杂度： $O(1)$
空间复杂度： $O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.458 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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