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💦 二叉树的概念
一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：
1、或者为空
2、由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
复制代码1️⃣ 二叉树不存在度大于 2 的结点
2️⃣ 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
⚠ 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
❓ 现实中的存在这种二叉树吗 ❔
在人为的干涉的情况下一定是存在的，因为没有什么是一电锯解决不了的事
当然也不乏有大自然的鬼斧神工，注意区分普通的树
💦 特殊的二叉树
1️⃣ 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^k - 1，则它就是满二叉树。
2️⃣ 完全二叉树：完全二叉树的前 k - 1 层都满的，第 k 层不一定满 (这就意味着满二叉树是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树)，但是从最后一层从左到右必须是连续的，也就是说完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多 1 个。完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，且每个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点 一一 对应称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
▶ 满二叉树的节点个数就是等比求和
2^0^ + 2^1^ + 2^2^ + ... 2^(k-1)^
利用公式所以满二叉树的节点个数就是 2^k^ - 1
▶ 完全二叉树的节点个数
最多：2^k - 1 这是满二叉树
最少：2^(k-1)^ - 1 + 1 -> 2^(k-1)^
2^(k-1)^ - 1 这是前 k-1 层节点的个数，+1 则是第 k 层至少一个
💦 二叉树的性质
1️⃣ 若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点
2️⃣ 若规定根节点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h - 1
3️⃣ 对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为 n₀, 度为 2 的分支结点个数为 n₂,则有 n₀＝ n₂＋1
4️⃣ 若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度为 h = log₂(n+1) ps：log₂(n+1)是 log 以 2 为底， n+1 的对数
5️⃣ 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
▶ 若 i>0，i 位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i 为根节点编号，无双亲节点
▶ 若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 否则无左孩子
▶ 若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子
💦 二叉树的概念选择题
1、某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的节点，则该二叉树中的叶子节点数为（ ）
A. 不存在这样的二叉树
B. 200
C. 198
D. 199
📝 分析：这里的叶子节点就是度为 0 的节点，已知二叉树中度为 2 的节点为 199 个，则度为 0 的节点等于度为 2 的节点 +1，所以选择 B 选项
2、下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）注意此题可以先了解下面的二叉树的存储结构在来做
A. 非完全二叉树
B. 堆
C. 队列
D. 栈
📝 分析：顺序结构存储就是使用数组来存储，它只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。
所以选择 A 选项
3、在具有 2n 个节点的完全二叉树中，叶子节点个数为（ ）
A. n
B. n+1
C. n-1
D. n/2
📝 分析：
假设度为 0 的个数是 x0，度为 2 的个数是 x2，度为 1 的个数是 x1，那么：
▶ x0 + x1 + x2 = 2n
▶ x0 = x2 + 1
由 x0 = x2 + 1 得到 x2 = x0 - 1
所以 x0 + x1 + x2 = 2n 同 x0 + x1 + x0 - 1 = 2n 同 2x0 + x1 - 1 = 2n
这时再回过头想想完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多就只有 1 个，
所以 x1 = 0 or 1
所以 2x0 + x1 - 1 = 2n 就有 2 种情况：
▶ 2x0 + 0 - 1 = 2n
▶ 2x0 + 1 - 1 = 2n
所以结果一目了然，当 x1 = 0 时，x0为小数，显然不可能；当 x1 = 1 时满足，所以选择 A 选项
4、一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）
A. 11
B. 10
C. 8
D. 12
📝 分析：
假设完全二叉树的高度是 h，那么：最多有 2^h-1 个节点；最少有 2^(h-1) 个节点
▶ h = 11 时：最多 2047；最少 2014，所以不合理
▶ h = 10 时：最多 1023；最少 512，所以合情合理
▶ h = 8 时：最多 255；最少 128，所以不合理
▶ h = 12 时：最多 4095；最少 2048，所以不合理
所以选择 B 选项
5、一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为 ( )
A. 383
B. 384
C. 385
D. 386
📝 分析：此题类似于第 3 题
假设度为 0 的个数是 x0，度为 2 的个数是 x2，度为 1 的个数是 x1，那么：
▶ x0 + x1 + x2 = 767
▶ x0 = x2 + 1
由 x0 = x2 + 1 得到 x2 = x0 - 1
所以 x0 + x1 + x2 = 767 同 x0 + x1 + x0 - 1 = 767 同 2x0 + x1 - 1 = 767
这时再回过头想想完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多就只有 1 个，
所以 x1 = 0 or 1
所以 2x0 + x1 - 1 = 767 就有 2 种情况：
▶ 2x0 + 0 - 1 = 767
▶ 2x0 + 1 - 1 = 767
所以结果一目了然，当 x1 = 0 时，满足条件；当 x1 = 1 时，不满足条件，所以选择 B 选项
💦 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构：。
1️⃣ 顺序存储：顺序结构存储就是使用数组来存储，它只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。如下图所见，数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。
❓ 怎么表示下标和树的关系 ❔
下标表示树中父子关系的公式：
左孩子和右孩子
leftchild = parent * 2 + 1
rightchild = parent * 2 + 2
父亲 (这里无论是左孩子还是右孩子都适用于以下公式)
parent = (child - 1) / 2
2️⃣ 链式存储：二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链表来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，现阶段本篇文章我们只了解二叉链，在以后的文章内写到高阶数据结构时，如红黑树等才会用到三叉链。
❓ 如何定义二叉链和三叉链 ❔
二叉链只能通过父亲找孩子，类似于单向链表；而三叉链不仅能通过父亲找孩子，还能通过孩子找父亲，类似于双向链表。
typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子
struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子
BTDataType _data; //当前节点的值域
}
//三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* _pParent; //指向当前节点的父亲
struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子
struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子
BTDataType _data; //当前节点的值域
}
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