物理学中用到的数学（一）

本系列内容是《数学物理方法》（梁昆淼）和《物理学家用的张量和群论导论》（Nadir Jeevanjee）两本书的读书笔记，以后可能还会加入其它书籍的内容，希望能总结一物理研究中用到的数学。

本章内容总结自《数学物理方法》（梁昆淼）

1. 向量(vector)

有方向和大小的量称为向量

向量$A$、$B$的标量积：

$$overrightarrow{A} cdot overrightarrow{B} = |overrightarrow{A}|cdot|overrightarrow{B}| costheta$$

向量$A$、$B$的矢量积：

$$overrightarrow{A} times overrightarrow{B} = |overrightarrow{A}|cdot|overrightarrow{B}| costheta$$

向量是几何空间中客观存在的量，它是不依赖于坐标系而客观存在的，正如我们物理世界中的物理规律也是不依赖于坐标系选取的。正是由于这种“不依赖坐标系选择”的共同特征，使得我们用向量空间来描述物理规律成为可能。

定量研究时需要引入坐标系，对于同一向量，由于它是空间中客观存在的量，所以在不同坐标系下的描述是等价的。

2. $R^3$ 空间中的向量代数

$R^3$空间就是三维 Euclidean （欧几里得）空间，即三维正交实向量空间

引入 Descartes 坐标系

$$overrightarrow{r} = x overrightarrow{e_x} + y overrightarrow{e_y} + z overrightarrow{e_z}$$

$R^3$ 空间中向量合成法则

定义向量 $overrightarrow{A} = A_1overrightarrow{e_1} + A_2overrightarrow{e_2} + A_3overrightarrow{e_3}$，$overrightarrow{B} = B_1overrightarrow{e_1} + B_2overrightarrow{e_2} + B_3overrightarrow{e_3}$

2.1 加法

定义

$$overrightarrow{A} + overrightarrow{B} = (A_1 + B_1)overrightarrow{e_1} + (A_2 + B_2)overrightarrow{e_2} + (A_3 + B_3)overrightarrow{e_3}$$

从定义得：

$$overrightarrow{A} + overrightarrow{B} = overrightarrow{B} + overrightarrow{A}$$

$overrightarrow{0}$和任何向量相加都等于它本身

$$overrightarrow{0} + overrightarrow{A} = overrightarrow{A}$$

同时 $overrightarrow{A} - overrightarrow{A} = overrightarrow{A} + (-overrightarrow{A}) = overrightarrow{0}$

并可得

$$overrightarrow{A} - overrightarrow{B} = (A_1 - B_1)overrightarrow{e_1} + (A_2 - B_2)overrightarrow{e_2} + (A_3 - B_3)overrightarrow{e_3}$$

2.2 向量数乘

对于任意实数 $alpha in Re$, 有

$$alpha overrightarrow{A} = alpha A_1overrightarrow{e_1} + alpha A_2overrightarrow{e_2} + alpha A_3overrightarrow{e_3}$$

2.3 向量的标量基

定义：

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