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题意:求有多少个n*n矩阵满足下列条件
- Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i, j ≤ n.
- Ai, j = Aj, i for all 1 ≤ i, j ≤ n.
- Ai, 1 + Ai, 2 + … + Ai, n = 2 for all 1 ≤ i ≤ n.
- A1, 1 = A2, 2 = … = An, n = 0.
解题思路:根据上面的条件我们会发现这个矩阵其实可以类比图的邻接矩阵。每个点的度为2相当于该点在一个环内。
解释以下在t环内的情况:
其实就是从n-1个点中找t-1个点,看能构成多少个环,对t个点进行全排列,去掉同一个环里同构的情况就是t环内的方案数。同构的情况有:
1.在同一个环内,顺时针与逆时针的排列不同,比如1234和1432
2.在顺时针中,起点不同的排列不同,比如1234与2341
因此总的方案数需/(2 * t)
附ac代码:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
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#include<cstring> #include<cmath> #include<string> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod = 1e9 + 7; const int maxn = 1e5 + 10; ll dp[maxn]; ll n; ll m; int () { while(~scanf("%lld %lld", &n, &m)) { dp[1] = 0, dp[2] = 1 % m, dp[3] = 1 % m; for(ll i = 4; i <= n; ++i) { dp[i] = (((i - 1) * dp[i - 1]) % m + ((i - 1) * dp[i - 2]) % m - (( (i - 1) * (i - 2) / 2) % m * dp[i - 3]) % m) % m; dp[i] = (dp[i] + m) % m; } printf("%lldn", dp[n]); } return 0; }
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