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google 2016 面试题6

admin 11月 11, 2020 0

题目描述

给定一个数组nums,返回一个计数数组count，count[i]表示nums中第i个右边有多少个数小于nums[i]
Example:
nums = [5, 2, 6, 1]
输出[2,1,1,0]

分析解答

此题不难给出O(N^2)的算法，先穷举nums中每个位置i，再穷举右边的数计算有多少个小于nums[i]。难点在于利用数据结构进行优化从而降低时间复杂度。线段树（segment tree）和平衡树（Balanced Binary Tree）是两种可以使用的数据结构。

线段树的每个节点表示一段区间，记录这个区间的某些信息，其基本思想是把区间一分为二，二分为四。。。直到不可再分（因此叶子节点的区间只包含一个数），如此可以把任意区间表示成log（区间大小）个子区间的拼接，以降低查询时间复杂度。在本题中，假设nums中的数字范围在0到maxnum之间，那么建树的区间为[0,maxnum]（也就是根节点所表示的区间）。每个节点记录其表示区间内的数字个数。本题涉及两种线段树基本操作：插入和查询。插入操作把nums[i]插入到线段树相应位置，同时对所有经过的区间的sum值进行累加；查询操作需要查询区间[0,nums[i]-1]所包含的数字个数，利用已经建好的线段树把查询区间分割为若干个节点所表示的区间，统计并返回这些节点的sum值之和。

平衡树用途更广，代码复杂度也更高，是一种保持叶子节点深度平衡的二叉搜索树，有多种方法实现，可以参照LeetCode。

参考程序

1.线段树 Segment Tree

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class Solution {
public:
    struct SegmentTreeNode {
        SegmentTreeNode* left, *right;
        int start, end;
        int count;
        SegmentTreeNode(int start, int end, int count)
            : start(start), end(end), count(count) {
            left = right = NULL;
        }
    };
    SegmentTreeNode* (int start, int end) {
        if (start > end) return NULL;
        SegmentTreeNode* root = new SegmentTreeNode(start, end, 0);
        if (start != end) {
            int mid = start + (end - start) / 2;
            root->left = build(start, mid);
            root->right = build(mid+1, end);
        }
        return root;
    }
    int querySegmentTree(SegmentTreeNode* root, int start, int end) {
        if (root->start == start && root->end == end)
            return root->count;
        int leftcount = 0, rightcount = 0;
        int mid = root->start + (root->end - root->start) / 2;
        
        if (start <= mid) {
            if (mid < end) {
                leftcount = querySegmentTree(root->left, start, mid);
            } else {
                leftcount = querySegmentTree(root->left, start, end);
            }
        }
        // right half part
        if (mid < end) {
            if (start <= mid) {
                rightcount = querySegmentTree(root->right, mid+1, end);
            } else {
                rightcount = querySegmentTree(root->right, start, end);
            }
        }
        return leftcount + rightcount;
    }
    void modifySegmentTree(SegmentTreeNode* root, int index, int value) {
        if (root->start == index && root->end == index) {
            root->count += value;
            return ;
        }
        int mid = root->start + (root->end - root->start) / 2;
        if (root->start <= index && index <= mid) {
            modifySegmentTree(root->left, index, value);
        }
        if (mid < index && index <= root->end) {
            modifySegmentTree(root->right, index, value);
        }
        root->count = root->left->count + root->right->count;
    }
    vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) {
        vector<int> ret;
        SegmentTreeNode* root = build(-1000, 10000);
        for (int i=nums.size()-1; i>=0; i--) {
            int ans = querySegmentTree(root, -1000, nums[i]-1);
            modifySegmentTree(root, nums[i], 1);
            ret.push_back(ans);
        }
        reverse(ret.begin(), ret.end());
        return ret;
    }
};

注意事项

之前写的线段树居然不能有负区间，debug了好长时间，发现原来是区间中点计算有问题，应该类似于int c = a + (b - a) / 2

2.二叉搜索树 Binary Search Tree

每个节点保存sum（左子树节点个数），dup（副本个数）。当插入一个数时，比它小的数的个数就是沿着树向右转时dup和sum之和，详情请见LeetCode

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class Solution {
public:
    struct Node {
        Node* left, *right;
        int val, sum, dup = 1;
        Node(int v, int s) : val(v), sum(s) {
            left = right = NULL;
        }
    };
    vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) {
        vector<int> ret(nums.size());
        Node* root = NULL;
        for (int i=nums.size()-1; i>=0; i--) {
            insert(nums[i], root, ret[i], 0);
        }
        return ret;
    }
    void insert(int num, Node*& root, int& ret, int preSum) {
        if (root == NULL) {
            root = new Node(num, 0);
            ret = preSum;
        } else if (root->val > num) {
            root->sum++;
            insert(num, root->left, ret, preSum);
        } else if (root->val < num) {
            insert(num, root->right, ret, preSum + root->dup + root->sum);
        } else {
            root->dup++;
            ret = preSum + root->sum;
        }
    }
};

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class Solution {
public:
    struct Node {
        Node* left, *right;
        int val, sum = 0, dup = 0;
        Node(int v) : val(v) {
            left = right = NULL;
        }
    };
    vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) {
        vector<int> ret(nums.size());
        if (nums.size() == 0) return vector<int>();
        Node* root = new Node(nums[nums.size()-1]);
        for (int i=nums.size()-1; i>=0; i--) {
            ret[i] = insert(root, nums[i]);
        }
        return ret;
    }
    int insert(Node* root, int num) {
        int ret = 0;
        while (root->val != num) {
            if (root->val > num) {
                root->sum++;
                if (root->left == NULL)
                    root->left = new Node(num);
                root = root->left;
            } else {
                ret += root->dup + root->sum;
                if (root->right == NULL)
                    root->right = new Node(num);
                root = root->right;
            }
        }
        root->dup++;
        return ret + root->sum;
    }
};
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