已知函数 $ fleft( x right)=xe^{x-1}+ax^2+2ax-aleft( ain mathbf{R} right) $ .
- 求 $ fleft(xright) $ 的单调区间;
- 若 $ fleft(xright) $ 在 $ left( 0,+infty right) $ 上有两个零点，求实数 $ a $ 的取值范围.
解析
- $ fleft(xright) $ 的导函数为 $$ f’left( x right)=left( x+1 right)left( e^{x-1}+2a right) $$
- 当 $ ageqslant 0 $ 时, 若 $xin(-infty,-1)$,$f’left( x right)<0 $,若 $xin(-1,+infty), f’ left( x right)>0 $,所以 $ fleft(xright) $ 单调减区间为 $ left( -infty,-1 right) $ ,增区间为 $ left( -1,+infty right) $ .
- 当 $ a<0 $ 时，令 $ f’left( x right)=0 $ 得, $$ x_1=-1,x_2=1+lnleft( -2a right) $$
- 若 $ a = - dfrac{1}{2e^2} $ ,则 $ f’left( x right)geqslant0 $ , $ fleft(xright) $ 增区间为 $ left( -infty,+infty right) $.
- 若 $-dfrac{1}{2e^2} < a < 0$ ,则 $xin(-infty,x_2)cup(x_1,+infty)$ 时， $f’left( x right)>0$ , $xin(x_2,x_1)$ 时， $f’left( x right)<0$, 所以 $fleft( x right)$ 的增区间为 $left( -infty,1+lnleft( -2a right) right)$ , $left( -1,+infty right)$ ,减区间为 $left( 1+lnleft(-2a right),-1 right)$ .
- 若 $a<-dfrac{1}{2e^2}$,则 $xin(-infty,x_1)cup(x_2,+infty)$ 时， $f’left( x right)>0 $ , $xin(x_1,x_2)$ 时， $f’left( x right)<0$, 所以 $fleft( x right)$ 的增区间为 $left( -infty, -1 right)$ , $left(1+lnleft( -2a right),+infty right)$ ,减区间为 $left( -1, 1+lnleft(-2a right) right)$.
- 当 $ageqslant -dfrac{1}{2e^2}$ 时，由 $left( 1 right)$ 可得， $fleft( x right)$ 在 $left( 0,+infty right)$ 上单调递增，不可能有两个零点.
当 $a<-dfrac{1}{2e^2}$ 时，要使 $fleft( x right)$ 由两个零点，需 $$left{begin{array}{l}x_2>0, \\fleft( x_2 right)<0,end{array} right.$$ 因为 $ f’left( x_2 right)=0 $ ,所以 $ e^{x_2-1}=-2a $ ,所以 $$ fleft( x_2 right)=-2ax_2+ax_2^2+2ax_2-a=aleft( x_2^2-1 right) < 0 $$ 故 $$x_2 > 1$$ 即 $$1+lnleft( -2a right)>1$$ 所以 $$ainleft(-dfrac{1}{2} ,-dfrac{1}{2e}right)$$ 此时 $$f(0)=-a>0,f(x_2)<0,xto+infty,f(x)to +infty$$ 使得 $f(x)$ 在 $ (0,+infty)$ 有两个零点.
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $left( -dfrac{1}{2},-dfrac{1}{2e} right)$ .
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