序言
- 为什么矩阵乘法要如此定义?
- 为什么叉积(cross product)与行列式(determinant)有所关联?
- 特征值(eigenvalue)究竟代表了什么
数值运算(Numeric operations)与几何直观(Geometric intuition)
- 几何直观:
- 用于判断出解决特定问题需要什么工具,感受它为什么有用,以及如何解读最终结果
- 数值运算
- 顺利应用工具
以计算正弦函数值为例 - 计算公式 (sin(x) = x - frac{x^3}{3!}+ frac{x^5}{5!}+cdots + {(-1)}^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})
- 几何定义
线性代数中计算与可视化直观理解之间的联系往往很直接
内容概览
向量究竟是什么
向量是线性代数的基础
- 物理专业
- 向量是空间中的箭头
- 决定一个向量的是他的长度和他所指的方向
- 计算机专业
- 向量是有序的数字列表
- 数学专业
- 只要保证两个向量相加(向量加法)以及数字与向量相乘(数乘)有意义即可
- 向量加法和向量数乘贯穿线性代数始终
思考向量的一种方式
向量以原点为起点
- 向量是空间中的箭头与向量是有序的数字列表
向量加法和向量数乘
向量加法
此处允许向量离开原点
为什么向量加法如此定义?
- 第一种观点: 向量加法的和,被看做两个向量的等效结果
- 第二种观点:类比数值加法
- 第三种观点:从数字的角度看
- 对应项相加
此处有问题,应为 [
begin{bmatrix}
x_1 \
y_1 \
end{bmatrix}+
begin{bmatrix}
x_2 \
y_2 \
end{bmatrix}=
begin{bmatrix}
x_1 + x_2 \
y_1 + y_2 \
end{bmatrix}
]
向量数乘
向量数乘可以看做向量的缩放
- 标量(Scalars) (times) 向量或数字(times)向量
(2vec{v})
(frac{1}{3}vec{v})
(-1.8vec{v})
从数字的角度看
小结
- 向量的各种等效看法在应用中是需要相互转化的
- 现象代数
- 为数据分析提供将大量数据列表概念化,可视化的方法
- 为物理学家和计算机图形学程序员提供一种通过计算机能处理的数字来描述并操纵空间的方法
线性组合和张成空间
向量坐标 (Vector Coordinate)
两个特殊的向量
- (hat{i})和(hat{j})
(hat{i}) and (hat{j}) are the basis vectors of the (xy) coordinate system
如果选择不同的基向量会怎么样?
线性组合(Linear Combinations)
- 两个数乘向量的和
如果,让一个标量(scalar)固定不变,让两一个标量自由变化,则会产生一条直线
如果让两个标量同时自由变化
- 两个基向量不共线且不为零向量,则可以得到二维平面上的所有点
- 两个基向量共线,则得到的线性组合被限制在一条直线上
- 两个向量为零向量,只能得到原点
张成的空间(Span)
- 使用两个基向量能获得的所有线性组合(仅使用向量加法和数乘)的集合
将向量看做点
- 当处理多个向量,用向量的终点代表该向量,比用箭头更加简洁
两个三维向量(3d vector)的张成空间
三个向量的线性组合
- 如果两个向量的线性组合与第三个向量不共面
- 类似的,如果两个向量的线性组合与第三个向量共面,则这三个向量构成的张成空间,仍然为平面
何为线性相关(Linearly dependent)
- 第三个向量位于前两个向量的张成空间中,或者两个向量贡献
- 表述方式一:
- 一组向量中至少有一个是多余的,没有对张成空间做出任何贡献,或者说移除某个向量对张成空间没有影响
- 表述方式二:
- 某个向量可以表示为其他向量的线性组合
何为线性无关(Linearly independent)
- 如果所有向量都给张成空间增加了新的维度
空间中一组基的严格定义
- 张成该空间的一个线性无关向量的集合
03 矩阵与线性变换
- Matrix and Lincar transformation
线性变换(Lincar transformation)
- 变换是函数的另一种说法
The word transformation suggests that you think using movement
何为线性变换?
-
网格线保持平行,且等距分布
-
直线在变换后仍然保持为直线,不能有所弯曲
- 原点必须保持固定
如何用数值去描述数值变换?
-
只需要记录两个基向量变换后的位置,其他向量会随之而动
-
根据变换后的基向量即可推算出其线性组合
以(bar{v} = -1hat{i} + 2bar{j})为例
[
Transformed{bar{v}} = -1Transformed{hat{i}} + 2Transformed{hat{j}}
\=
-1
begin{bmatrix}
1 \
-2
end{bmatrix}
+
2
begin{bmatrix}
3 \
0
end{bmatrix}
]
一个二维线性变换仅有四个数字完全确定
将这四个数字(两个基向量),合并为矩阵
一般化
这里可以得到矩阵乘法的定义
- 矩阵乘法:计算线性变换作用于给定向量的一种途径
线性相关
- 变换后的基向量是线性相关的,则变换后的二维空间为一条直线
每一个矩阵都可以看做是对空间的特定变换
矩阵乘法与线性变换复合的联系
复习上一节
- 线性变换是将向量作为输出和输入的一类函数
- 可以将线性变换看做对空间的挤压伸展
- 矩阵与向量相乘,就是将线性变换作用于那个向量
复合变换(Composition)
-
对向量进行连续变换
- 将一个向量旋转然后剪切
复合矩阵的变换效果等价于两个矩阵的连续变换
两个矩阵相乘的几何意义
- 两个线性变换的相继作用(需要仔细思考,理解)
一般化
(M_{ij} times N_{j1} = Q_{i1})
或者
矩阵(M_2)对向量(N_{j1}, N_{j2} ,cdots,N_{ji})进行变换
问题:
- (M_1 times M_2)是否等于(M_2 times M_1)?
- 即矩阵乘法是否满足于交换律?
- 先剪切,然后旋转
- 先旋转,然后剪切
- 结论
- 乘积顺序影响结果
证明结合律
- ((AB)C)与(A(BC))是否相等?
(补充)三维空间的线性变换
从二维到三维的拓展理解
基向量:(hat{i}, hat{j}, hat{k})
以沿着y轴旋转90度线性变换(左手系)为例 [
hat{i} rightarrow
begin{bmatrix}
0 \
0 \
-1
end{bmatrix} \
hat{j} rightarrow
begin{bmatrix}
0 \
1 \
0
end{bmatrix} \
注释:hat{j}没有变化 \
hat{k} rightarrow
begin{bmatrix}
1 \
0 \
0
end{bmatrix}
]
- 线性变换的矩阵
[
begin{bmatrix}
0 & 0& 1\
0 & 1& 0\
-1 & 0& 0
end{bmatrix}
]
- 缩放再相加 [
hat{v} =
begin{bmatrix}
x \
y \
z
end{bmatrix}
= xhat{i} + yhat{j} + zhat{k}
]
近期评论