库仑势的fourier transform

三维库仑势的形式为：

$$V(vec{r}) = frac{1}{r}$$

按动量Fourier展开：

$$V(vec{r}) = frac{1}{(2pi)^3} int_{-infty}^{+infty} mathrm{d}^3vec{k} cdot V(vec{k})cdot e^{ivec{k}cdotvec{r}}$$

求 $V(vec{k})$ 。

$$V{(vec{k})} = int_{-infty}^{+infty} mathrm{d}^3vec{r}cdot V(vec{r})cdot e^{-ivec{k}cdot vec{r}} = int_0^{2pi}mathrm{d}varphi int_0^{+infty}mathrm{d}rint_0^{pi}mathrm{d}thetacdot frac{1}{r}e^{-ikrcostheta}r^2sintheta \\ =2piint_0^{+infty}mathrm{d}rint_0^{pi}mathrm{d}thetacdot e^{-ikrcostheta}rsintheta = -2piint_0^{+infty}mathrm{d}rint_1^{-1}mathrm{d}costhetacdot e^{-ikrcostheta}r \\ =-2piint_0^{+infty}mathrm{d}rcdot left[e^{-ikrcostheta}rfrac{1}{-ikr}right]_{costheta = 1}^{costheta =-1} = 2piint_0^{+infty}mathrm{d}rcdot left[(e^{ikr}-e^{-ikr})frac{1}{ik}right] \\ =frac{2pi}{ik}left[frac{e^{ikr}}{ik}-frac{e^{-ikr}}{-ik}right] _0^{+infty}$$

但 $e^{-ikr}$ 与 $e^{-ikr}$ 在 $+infty$ 处发散。

为了解决发散问题，可在一开始令

$$V(vec{r}) = frac{1}{r} = lim_{murightarrow 0} frac{e^{-mu r}}{r}$$

所以

$$V{(vec{k})} = lim_{murightarrow 0} 2piint_0^{+infty}mathrm{d}rcdot left[(e^{(ik-mu)r}-e^{(-ik-mu)r})frac{1}{ik}right] \\ = lim_{murightarrow 0}frac{2pi}{ik}left[frac{e^{(ik-mu)r}}{ik-mu r}-frac{e^{(-ik-mu)r}}{-ik-mu r}right] _0^{+infty} \\$$ $$= lim_{murightarrow 0}frac{2pi}{ik}left[frac{-1}{ik-mu }-frac{-1}{-ik-mu }right] \\ =lim_{murightarrow 0}frac{2pi}{ik}frac{2ik}{k^2-mu ^2} =lim_{murightarrow 0}frac{4pi}{k^2-mu ^2} \\ =frac{4pi}{k^2}$$

函数满足一致收敛，积分与极限才可交换顺序。