高数期中试题（回忆版）

（$20$ 分）设 $y = dfrac{ax+b}{cx+d}~(ad - bc ne 0)$，计算：

$$frac{y’’’}{y’} - frac{3}{2}left (frac{y’’}{y’}right )^2.$$

（$20$ 分）计算定积分：

$$I = int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{cos x mathrm{d}x}{a^2sin^2x + b^2cos^2x}.(a, b > 0)$$

（$20$ 分）求不定积分：

$$intfrac{mathrm{d}x}{1 + sqrt{1-2x-x^2}}$$

（$20$ 分）求极限：

$$lim_{n rightarrow +infty}frac{n}{sqrt[n]{n!}}$$

（$20$ 分）判断序列

$$a_n = 1 + frac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{3}} + cdotscdots + frac{1}{sqrt{n}} - 2sqrt{n}$$

是否存在极限。若存在，给出证明；若不存在，也给出证明。