linear algebra 1

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1. Introduction

마음의 고향 $R^{n}$

수학적으로 엄밀한 vector space 를 정의하기 전에, 우리에게 익숙한 $R^{2}$통해 벡터와 벡터스페이스를 정의하자.

벡터(vector) 는 ‘수의 나열’ 이다.

$(1, 2)$ 도 벡터이고, $(1, 2, 4, 6, 7, 2)$도 벡터이다.

즉, 임의의 $n$에 대하여 $(x_1, x_2, cdots , x_n )$을 $vector$라 하고, $(x_1, x_2, cdots , x_n )$ 의 집합을 벡터 스페이스$(vector space)$라 한다.

이제 $vector space$에 대해 중요한 사실을 살펴보자.

위 그림을 보면, $R^{2}$위의 한 점 $(3, 5)$는 $(1, 0)$을 $3$배 하고, $(0, 1)$ 을 $5$배하여 더한것이다.

즉,

$$(3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1)$$

같은 방식으로, $R^{2}$위의 ‘임의의’ 점 $(x_1, x_2)$는 $(1, 0)$을 $x_1$배 하고, $(0, 1)$ 을 $x_2$배하여 더한 것으로 표현 할 수 있다.

즉,

$$(x_1, x_2) = x_1(1, 0) + x_2(0, 1)$$

으로 나타낼수 있다. 이것은 $R^{2}$의 임의의 원소를 표현할때 우리에게 필요한 것은, $(1, 0)$, $(0, 1)$라는 $2$개의 원소로 충분하다는 것을 의미한다.

같은 방식으로, $R^{n}$위의 임의의 점은 아래와 같이 표현할 수 있을 것이다.

$$(x_1, x_2, cdots , x_n ) = x_1(1, 0, cdots, 0) + x_2(0, 1, cdots, 0) + cdots + x_n(0, 0, cdots, 1)$$

vector space 의 엄밀한 정의

//rn 에서 성립하는 성질
// 엄밀한 정의.

기저(Basis)

// r2 에서 1,0 0,1 상기

$R^{2}$에서 임의의 점을 $(1, 0)$ $(0, 1)$ 의 각각의 상수배와 그것들의 합으로 나타 낼 수 있었다.
그리고 $(1, 0)$ $(0, 1)$ 을 이용한 표현은 유일하다.

이와 같이, 모든 vector space 상의 원소를 상수배와 벡터합으로 표현하고, 또 그 표현이 유일한 벡터들의 집합을 기저$(Basis)$ 라 한다.

${v_1, v_2, cdots, v_n}$가 다음 두 성질을 만족할때, field $F$ 위의 vector space $V$의 기저라고 한다.

1. For all, $v in V$, $v = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + cdots + x_{n}v_{n}$ where $x_{i} in F$

2. $v = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + cdots + x_{n}v_{n} = x'_{1}v_{1} + x'_{2}v_{2} + cdots + x'_{n}v_{n}$ 이면 , $forall i, x_{i} = x'_{i}$

2. 행렬은 선형사상이다.

$2$x$2$ 행렬(matrix) as a function from $R^{2}$ to $R^{2}$

선형사상

행렬은 선형사상이다.

행벡터와 열벡터가 서로 $orthogonal$ 하고, 모두 단위벡터($unit vector$)인 실수 정방 행렬을 $Orthogonal Matrix$라 한다.
$Q$ 를 $Orthogonal Matrix$ 이라 하고 아래와 같이쓰자.

$$% <![CDATA[ Q = begin{bmatrix} -& u_1 & - \ - & u_2 & - \ & vdots & \ - & u_n & - end{bmatrix} %]]>$$

그러면,

$$% <![CDATA[ Q^{T} = begin{bmatrix} | & | & dots & |\ u_1 & u_2 & dots & u_n\ | & |& dots & | end{bmatrix} %]]>$$

이 되고, $Orthogonal Matrix$ 정의에 의해

$$QQ^{T} = Q^{T}Q = I$$

가 성립한다(사실 정의와 동치이다)