Las maletas que salen de los check-in y entran en el sistema de transporte siguen un proceso tipo Poisson a un ritmo de $lambda=5000$ maletas/hora total para todo el sistema.

$$lambda=5000$$

El 100% de estas maletas que tienen que pasar un primer nivel de inspección automática (N1) denominado inspección de explosivos. El tiempo promedio de inspección para cada maleta es de $overline{X_1}=4$ segundos y sigue un proceso de Poisson.

$$I_1 = lambda = 5000$$

$$mu_1 = frac{1}{4 / (60 * 60)} = 900$$

Aproximadamente el 15% de las inspecciones tipo N1 resultan dudosas, por lo tanto es necesario realizar una segunda operación de inspección (N2) a través de operadores que puedan procesar un promedio de $mu_2=3$ maletas/min siguiendo un proceso de tipo Poisson.

$$I_2 = 0.15 * I_1$$

$$mu_2 = 3 * 60 = 180$$

• De las maletas que pasan por N2, los operadores solicitan, en un 20% de los casos, una inspección adicional de tipo manual (N3). El tiempo de inspección en este caso se ajusta a una distribución exponencial con un promedio de $overline{X_3}=5$ minutos.

$$I_3 = 0.2 * I_2$$

$$mu_3 = frac{1}{5/60} = 12$$

• El resultado de esta última inspección (N3) es que en el 2% de los casos las maletas se consideran peligrosas y las restantes se consideran válidas.

$$lambda_{peligrosas} = 0.02 * I_3$$

Hay que considerar que en cada uno de los procesos de inspección (N1, N2 y N3), en el 1% de los casos, se pierde el seguimiento del equipaje y, por lo tanto, debe recircular por el mismo equipo de inspección. Reformulamos las ecuciones de trafico:

$$
begin{split}
I_1 &= lambda + 0.01 * I_1\
I_2 &= 0.15 * 0.99 * I_1 + 0.01 * I_2\
I_3 &= 0.2 * 0.99 * I_2 + 0.01 * I_3\
lambda_{peligrosas} &= 0.02 * 0.99 * I3\
end{split}
$$

• Las maletas clasificadas como váidas (es decir, las que pasan satisfactoriamente algunos los controles N1, N2 o N3) llegan a los hipódromos y permanecen en espera de la llegada de los carritos de carga.

$$
begin{split}
lambda_{validas}
&= 0.85 * 0.99 * I_1 + 0.8 * 0.99 * I_2 + 0.98 * 0.99 * I_3\
&= lambda - lambda_{peligrosas}\
end{split}
$$

• En cada hipódromo hay dos operarios que cargan las maletas en carritos. Un operario puede cargar en el carrito un promedio de $mu_{hipódromo}=15$ maletas por minuto (considérese que cada operario gestiona un solo carrito).

$$mu_{hipódromo} = 15 * 60 = 900$$

Las maletas que no pasan las inspecciones y finalmente se consideran peligrosas son destruidas.

$$
begin{split}
lambda_{peligrosas}
&= 0.02 * 0.99 * I_3\
&= 0.02 * 0.99 * frac{0.2 * 0.99 * frac{0.15 * 0.99 * frac{lambda}{1 - 0.01}}{1 - 0.01}}{1 - 0.01}\
&= 3 , textbf{maletas por hora}\
end{split}
$$

• Los equipos de inspección y los hipódromos no pueden tener un nivel de saturación/uso superior al 80%

• Se puede asumir que las maletas llegan de forma aleatoria e igualmente distribuída a los distintos hipódromos.

Elaborar el diagrama de red de colas indicando todos los parámetros de los elementos (tasas y capacidades) y de los flujos (en porcentaje o en proporción).

Determinar, utilizando criterios analiticos y/o de teoría de las colas, el número de equipos de inspección necesarios en cada nivel de inspección (N1, N2 y N3) y el número de hipódromos necesarios.

A partir de los resultados anteriormente obtenidos:

$$
begin{split}
I_1 &= lambda + 0.01 * I_1\
I_2 &= 0.15 * 0.99 * I_1 + 0.01 * I_2\
I_3 &= 0.2 * 0.99 * I_2 + 0.01 * I_3\
lambda_{validas} &= 0.85 * 0.99 * I_1 + 0.8 * 0.99 * I_2 + 0.98 * 0.99 * I_3\
lambda_{peligrosas} &= 0.02 * 0.99 * I3\
end{split}
$$

Debemos cumplir que

$$
begin{split}
rho_i &< 0.8\
frac{I_i}{c_i mu_i} &< 0.8\
c_i &> frac{I_i}{0.8 * mu_i}\
end{split}
$$

Podemos deducir las tasas de llegadas para diferentes nodos.

$$
begin{split}
I_1 &= lambda + 0.01 * I_1\
(1 - 0.01)I_1 &= lambda\
I_1 &= frac{lambda}{1 - 0.01}\
I_1 &approx 5050.5\
c_1 &> frac{I_1}{0.8 * mu_1}\
c_1 &> frac{5050.5}{0.8 * 900}\
c_1 &> 7.0146\
end{split}
$$

necesitamos al menos 8 equipos.

$$
begin{split}
I_2 &= 0.15 * 0.99 * I_1 + 0.01 * I_2\
(1 - 0.01)I_2 &= 0.15 * 0.99 * I_1\
I_2 &= frac{0.15 * 0.99 * I_1}{1 - 0.01}\
I_2 &approx 757.57\
c_2 &> frac{I2}{0.8 * mu_2}\
c_2 &> frac{757.57}{0.8 * 180}\
c_2 &> 5.26\
end{split}
$$

necesitamos al menos 6 equipos.

$$
begin{split}
I_3 &= 0.2 * 0.99 * I_2 + 0.01 * I_3\
(1 - 0.01)I_3 &= 0.2 * 0.99 * I_2\
I_3 &= frac{0.2 * 0.99 * I_2}{1 - 0.01}\
I_3 &approx 151.51\
c_3 &> frac{I3}{0.8 * mu_3}\
c_3 &> frac{1.5151}{0.8 * 12}\
c_3 &> 15.783\
end{split}
$$

necesitamos al menos 16 equipos.

$$
begin{split}
lambda_{validas} &= 0.85 * 0.99 * I_1 + 0.8 * 0.99 * I_2 + 0.98 * 0.99 * I_3\
lambda_{validas} &= 4.997\
lambda_{peligrosas} &= 0.02 * 0.99 * I3\
lambda_{peligrosas} &= lambda - lambda_{validas}\
lambda_{peligrosas} &= 3\
c_{hipódromo} &> frac{lambda_{validas}}{0.8 * mu_{hipódromo}}\
c_{hipódromo} &> frac{4997}{0.8 * 900}\
c_{hipódromo} &> 6.94\
end{split}
$$

Necesitamos al menos 7 operarios, sabemos que en cada hipódromo obligariamente hay dos operarios, habrá 4 hipódromos 8 operarios.

Elaborar el diagrama TQM del modelo.

A través de los experimentos de simulación, calcular los siguientes resultados y compararlos con los resultados teóricos:

Tiempo medio de inspección total para las maletas.

Usamos los resultados de I que obtuvimos anteriormente.

$$
begin{split}
R_{inspección,total} &= frac{I_1}{lambda}R_1 + frac{I_2}{lambda}R_2 + frac{I_3}{lambda}R_3\
R_{inspección,total} &= frac{I_1}{lambda}*(frac{Q_1}{I_1}+X_1) + frac{I_2}{lambda}R_2*(frac{Q_2}{I_2}+X_2) + frac{I_3}{lambda}*(frac{Q_3}{I*3}+X_3)\
R_{inspección,total} &= 1.0101*(frac{Q_1}{5050.5}+0.00111111) + 0.153*(frac{Q_2}{757.57}+0.0055555) + 0.0309*(frac{Q_3}{151.51}+0.08333333)\
end{split}
$$

Usamos la fórmula de calcular Q en una sistema MMC $overline{Q}=frac{(crho)^clambdamu p_0}{(c-1)!(cmu-lambda)^2}$

$$
begin{split}
R_{inspección,total} &= 1.0101*(frac{0.64126535}{5050.5}+0.00111111) + 0.153*(frac{0.79494307}{757.57}+0.0055555) + 0.0309*(frac{1.05087585}{151.51}+0.08333333)\
R_{inspección,total} &= 17.95,textbf{s}\
end{split}
$$

El valor experimental obtenido es $17.86 pm 0.07$, el valor experiemental este valor está algo desviado del valor téorico.

[](tiempo medio de inspeccion total.png)

Tiempo medio de espera en las distintas colas de los sistemas de inspección y en el hipódromo o zonas de acumulación.

Obtenemos W apartir de Q con la misma fórmula.

$$
begin{split}
Q_1 &= 0.64126535\
W_1 &= Q_1 / I_1\
W_1 &= 0.457\
Q_2 &= 0.79494307\
W_2 &= Q_2 / I_2\
W_2 &= 3.78\
Q_3 &= 1.05087585\
W_3 &= Q_3 / I_3\
W_3 &= 24.97\
end{split}
$$

$W_1=0.457$ está dentro del intervalo de confianza de 95% entre $0.45661547-0.00262238$ y $0.45661547+0.00262238$

$W_2=3.77756948$ está dentro del intervalo de confianza de 95% entre $3.77093044 - 0.05249099$ y $3.77093044 + 0.05249099$

$W_3=24.96881008$ está dentro del intervalo de confianza de 95% entre $24.06570308 - 1.28800643$ y $24.06570308 + 1.28800643$

Para las zonas de acumulación, tenemos 4 hipódromos, cada uno tiene su propia cola, suponemos que a cada hipódromo llegan de forma aleatoria e igualmente distribuída, de los cuales la tasa de llegagas entonces es $frac{lambda_{validas}}{4}$, la capacidad de cada uno de ellos es 2.

Para cada cola de hipódromo el tiempo de espera es:

$$
begin{split}
W_{hipódromo} &= frac{Q_{hipódromo}}{frac{lambda_{validas}}{4}}\
W_{hipódromo} &= frac{frac{(2*0.694)^2*1249.227*900*0.180627}{(2-1)!(2*900-1249.227)^2}}{1249.25}\
W_{hipódromo} &= frac{1.2899}{1249.25}\
W_{hipódromo} &= 0.0010325395237142285,textbf{h}\
W_{hipódromo} &= 3.717,textbf{s}\
end{split}
$$

$W_{hipódromo}=3.717$ está dentro del intervalo de confianza de 95% entre
$3.72022139 - 0.02658777$ y $3.72022139 + 0.02658777$ y
$3.70558075 - 0.02680399$ y $3.70558075 + 0.02680399$ y
$3.72118768 - 0.02963179$ y $3.72118768 + 0.02963179$ y
$3.71955176 - 0.02786201$ y $3.71955176 + 0.02786201$.

Número de maletas presentes en el sistema en cada momento.

Para las colas ya hemos calculado anteriormente:

$$
begin{split}
Q_1 &= 0.64126535\
Q_2 &= 0.79494307\
Q_3 &= 1.05087585\
Q_{hipódromo} &= 1.28990589\
J_1 &= Q_1 + rho_1*c_1\
J_1 &= 6.25293763\
J_2 &= Q_2 + rho_2*c_2\
J_2 &= 5.00369728\
J_3 &= 0.64417406 + 0.75780158*17\
J_3 &= 13.67713847\
J_{hipódromo} &= Q_{hipódromo} + rho_{hipódromo}*c_{hipódromo}\
J_{hipódromo} &= 2.6779614475\
J &= J_1 + J_2 + J_3 + J_{hipódromo} * 4\
J &= 35.64561916939008\
end{split}
$$

[](numero medio de maletas.png)

El valor téorico esta más o menos situado en el 3º percentil.