《全局光照》第一章采样部分总结

傅里叶变换与级数

对于任意的非周期函数有傅里叶变换

正变换：
$$
F(mu) = int_{-infty}^infty f(t)e^{-j2pi mu t}dt
$$
逆变换：
$$
f(t) = int_{-infty}^infty F(mu)e^{j2pi mu t}du
$$
利用欧拉公式可将正变换变为：
$$
F(mu) = int_{-infty}^infty f(t)cos(2pi mu t) - jsin(2pi mu t)dt
$$
对于任意的周期函数有傅里叶级数：
$$
f(t) = sum_{n = {-infty}}^infty c_ne^{jfrac{2pi n}{T}t}
$$
其中：
$$
c_n = frac{1}{T}int_{-T/2}^{T/2} f(t)e^{-jfrac{2pi n}{T}t}dt, n=0,n=pm1, n=pm2,…
$$
傅里叶变换的实质是将空间域(spatial domain)或时间域(time domain)变换到频率域(frequency domain)。当一个函数被变换到频率域后，可以检测该函数是否具有最大频率。如果存在则该函数被称为带限函数(bandlimited function)，这意味着可以检测函数的频率带宽(bandwidth)。

卷积

$$
f(t)*g(t) = int_{-infty}^infty f(tau)g(t-tau)dtau
$$

傅里叶变换的卷积性质：
$$
f(t)*g(t)Longleftrightarrow F(mu)G(mu)
$$

$$
F(mu)*G(mu) Longleftrightarrow f(t)g(t)
$$

采样定理

冲激函数(dirac function)：
$$
delta(t) = begin{cases}
inftyquad t=0 \
0quad tneq 0
end{cases}
$$

$$
int_{-infty}^infty delta(t)dt = 1
$$

冲激函数具有以下采样特性：
$$
int_{-infty}^infty f(t)delta(t-t_0)dt = f(t_0)
$$
由此，一个具有均匀间隔$Delta T$的冲激串函数可以定义为：
$$
s_{Delta T}(t) = sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nDelta T)
$$
将此冲激串作用于连续函数f(t)则得到采样后的函数：
$$
widetilde{f}(t)=sum_{n=-infty}^infty f(t)delta(t-nDelta T)
$$
每个采样值由加权后的冲激“强度”给出，可以通过积分得到，即任意采样值$f_k$为：
$$
f_k=int_{-infty}^infty f(t)delta(t-kDelta T)dt = f(kDelta T)
$$
冲激函数傅里叶变换为：
$$
S(mu)=frac{1}{Delta T}sum_{-infty}^{infty}delta(mu-frac{n}{Delta T})
$$

频域结果为：
$$
widetilde{F}(mu) = F(mu)*S(mu) = int_{-infty}^{infty}F(tau)S(mu-tau)dtau
=frac{1}{Delta T}int_{-infty}^{infty}F(tau)sum_{-infty}^{infty}delta(mu-tau-frac{n}{Delta T})dtau
=frac{1}{Delta T}sum_{-infty}^{infty}F(mu-frac{n}{Delta T})
$$
由此可见，采样后函数的频率其实为原函数频率的周期重复，重复周期为$frac{1}{Delta T}$.

$frac{1}{Delta T}$被称为采样率(sample rate)，为了保持对原始信号的重建能力，需要足够的采样率来保证$F(mu)$的完整性。根据采样理论(the sampling theorem)，对于一个带限函数$f(t)$其最大频率为$mu _{max}$，它能够完全被一系列以$frac{1}{(2mu _{max})}$间隔采样的离散函数表示。也就是采样率必须大于或等于$2mu _{max}$。

重建

平滑

卷积计算最本质也是最直观的特征是平滑，它通过对f的每个点考虑该点周围一定范围内的值对该点的影响来消除该点与周围环境的频率的快速变化。

重建

图中$H(mu)$的定义为:
$$
H(mu)=begin{cases}Delta T quad -mu _{max}lemulemu {max}
0 quadquad 其他end{cases}
$$
当该函数乘以采样后的频域函数时，该函数将隔离以原点为中心的一个周期，即
$$
F(mu) = widetilde{F}(mu)H(mu)
$$
一旦得到$F(mu)$就可以通过傅里叶逆变换得到原函数$f(t)$。此$H(mu)$被称为一个低通滤波(low-pass filter)，其傅里叶逆变换为辛克函数:
$$
sinc(x) = frac{sin(pi x)}{pi x}
$$
所以重建后的函数$f(t)$可以表示为：
$$
f(t)=sum{n=-infty}^{infty}f(nDelta T)sinc[(t-nDelta T)/Delta T]
$$
由于辛克函数在无限空间连续的，所以当它划过$widetilde{f}(t)$上的每一点时会在辛克函数的整个定义域上求积分，这个积分值是考虑$widetilde{f}(t)$所有点的平滑效果得来的，因此能够完美还原$f(t)$。