【刷穿LeetCode】求「第n个超级丑数」的两种方式

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题目描述

这是 LeetCode 上的 313. 超级丑数 ，难度为 中等。

Tag : 「优先队列」、「多路归并」

超级丑数 是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。

给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个 超级丑数 。

题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。

示例 1：

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]

输出：32 

解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。
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示例 2：

输入：n = 1, primes = [2,3,5]

输出：1

解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。
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提示：

• 1 <= n <=
  $10^6$

  106

• 1 <= primes.length <= 100
• 2 <= primes[i] <= 1000
• 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
• primes 中的所有值都 互不相同 ，且按 递增顺序 排列

基本分析

类似的题目在之前的每日一题也出现过。

本题做法与 264. 丑数 II 类似，相关题解在 这里。

回到本题，根据丑数的定义，我们有如下结论：

• 
  $1$

  1 是最小的丑数。

• 对于任意一个丑数
  $x$

  x，其与任意给定的质因数

  $primes[i]$

  primes[i] 相乘，结果仍为丑数。

优先队列（堆）

有了基本的分析思路，一个简单的解法是使用优先队列：

1. 起始先将最小丑数
   $1$

   1 放入队列

2. 每次从队列取出最小值
   $x$

   x，然后将

   $x$

   x 所对应的丑数

   $x * primes[i]$

   x∗primes[i] 进行入队。

3. 对步骤
   $2$

   2 循环多次，第

   $n$

   n 次出队的值即是答案。

为了防止同一丑数多次进队，我们需要使用数据结构

Set 来记录入过队列的丑数。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        Set<Long> set = new HashSet<>();
        PriorityQueue<Long> q = new PriorityQueue<>();
        q.add(1L);
        set.add(1L);
        while (n-- > 0) {
            long x = q.poll();
            if (n == 0) return (int)x;
            for (int k : primes) {
                if (!set.contains(k * x)) {
                    set.add(k * x);
                    q.add(k * x);
                }
            }
        }
        return -1; // never
    }
}
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• 时间复杂度：令
  $primes$

  primes 长度为

  $m$

  m，需要从优先队列（堆）中弹出

  $n$

  n 个元素，每次弹出最多需要放入

  $m$

  m 个元素，堆中最多有

  $n * m$

  n∗m 个元素。复杂度为

  $O(n * m \log{(n * m)})$

  O(n∗mlog(n∗m))

• 空间复杂度：
  $O(n * m)$

  O(n∗m)

多路归并

从解法一中不难发现，我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来（使用「已有丑数」乘上「给定质因数」

primes[i]）。

因此，如果我们所有丑数的有序序列为

a1,a2,a3,...,an 的话，序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列（中的至少一个）覆盖（这里假设

primes=[2,3,5]）：

• 由丑数 *
  $2$

  2 所得的有序序列：

  $1 * 2$

  1∗2、

  $2 * 2$

  2∗2、

  $3 * 2$

  3∗2、

  $4 * 2$

  4∗2、

  $5 * 2$

  5∗2、

  $6 * 2$

  6∗2、

  $8 * 2$

  8∗2 ...

• 由丑数 *
  $3$

  3 所得的有序序列：

  $1 * 3$

  1∗3、

  $2 * 3$

  2∗3、

  $3 * 3$

  3∗3、

  $4 * 3$

  4∗3、

  $5 * 3$

  5∗3、

  $6 * 3$

  6∗3、

  $8 * 3$

  8∗3 ...

• 由丑数 *
  $5$

  5 所得的有序序列：

  $1 * 5$

  1∗5、

  $2 * 5$

  2∗5、

  $3 * 5$

  3∗5、

  $4 * 5$

  4∗5、

  $5 * 5$

  5∗5、

  $6 * 5$

  6∗5、

  $8 * 5$

  8∗5 ...

我们令这些有序序列为

arr，最终的丑数序列为

ans。

如果

primes 的长度为

m 的话，我们可以使用

m 个指针来指向这

m 个有序序列

arr 的当前下标。

显然，我们需要每次取

m 个指针中值最小的一个，然后让指针后移（即将当前序列的下一个值放入堆中），不断重复这个过程，直到我们找到第

n 个丑数。

当然，实现上，我们并不需要构造出这

m 个有序序列。

我们可以构造一个存储三元组的小根堆，三元组信息为

(val,i,idx)：

• 
  $val$

  val ：为当前列表指针指向具体值；

• 
  $i$

  i ：代表这是由

  $primes[i]$

  primes[i] 构造出来的有序序列；

• 
  $idx$

  idx：代表丑数下标，存在关系

  $val = ans[idx] * primes[i]$

  val=ans[idx]∗primes[i]。

起始时，我们将所有的

(primes[i],i,0) 加入优先队列（堆）中，每次从堆中取出最小元素，那么下一个该放入的元素为

(ans[idx+1]∗primes[i],i,idx+1)。

另外，由于我们每个

arr 的指针移动和

ans 的构造，都是单调递增，因此我们可以通过与当前最后一位构造的

ans[x] 进行比较来实现去重，而无须引用常数较大的 Set 结构。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        int m = primes.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[0]-b[0]); 
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            q.add(new int[]{primes[i], i, 0});
        }
        int[] ans = new int[n];
        ans[0] = 1;
        for (int j = 1; j < n; ) {
            int[] poll = q.poll();
            int val = poll[0], i = poll[1], idx = poll[2];
            if (val != ans[j - 1]) ans[j++] = val;
            q.add(new int[]{ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1});
        }
        return ans[n - 1];
    }
}
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• 时间复杂度：需要构造长度为
  $n$

  n 的答案，每次构造需要往堆中取出和放入元素，堆中有

  $m$

  m 个元素，起始时，需要对

  $primes$

  primes 进行遍历，复杂度为

  $O(m)$

  O(m)。整体复杂度为

  $O(\max(m, n\log{m}))$

  O(max(m,nlogm))

• 空间复杂度：存储
  $n$

  n 个答案，堆中有

  $m$

  m 个元素，复杂度为

  $O(n + m)$

  O(n+m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.313 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour…

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