组合趣题-情人节的玫瑰

n对夫妇过情人节，每一位男士送每一位女士若干朵玫瑰，若一位男士送给别人妻子的花的数量总和≥送给自己妻子的花的数量，那么妻子就会不高兴。当他们互相赠送完毕后发现，对于任意一位妻子，她均可以把所有的男士分为两组，使得每组男士送给自己的花的数目之和一样多。

求证：至少有一位妻子会不高兴。

白俄罗斯竞赛题。

反证法。本题虽然披着组合数学难题的外衣，但本质上是一道代数题。运用数学语言和符号将所有已知条件都表示出来，就能看出端倪。

将所有男士编号为${a_1},{a_2},{a_3},…,{a_n} $, 所有女士编号为${b_1},{b_2},{b_3},…,{b_n}$.用${A[i][j]} $表示第i位丈夫送给第j位妻子的花的数量。

则本题就是考察一个$n*n$的二维数组。

反证法，假设没有妻子不高兴，则对于所有的$ j in {1,2,…,n} $, 均有$ A[j][j]>sumlimits_{i = 1}^n {A[j][i]}-A[j][j]$.

移项，化简得$A[j][j] > sumlimits_{i = 1}^n {A[j][i]}$.

对于所有的$j in {1,2,…,n}$，均有$sumlimits_{i = 1}^n {A[i][j]} ge 2A[j][j]$.

$therefore 2sumlimits_{j = 1}^n {A[j][j] > sumlimits_{i = 1}^n {sumlimits_{j = 1}^n {A[j][i] = } } } sumlimits_{i = 1}^n {sumlimits_{j = 1}^n {A[i][j] ge } } 2sumlimits_{j = 1}^n {A[j][j]}$.

矛盾！证毕！