629.K个逆序对数组:一道序列DP状态转移优化题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 629. K个逆序对数组 ，难度为 困难。

Tag : 「序列 DP」、「前缀和」

给出两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的不同的数组的个数。

逆序对的定义如下：对于数组的第 i 个和第 j 个元素，如果满 i < j 且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

由于答案可能很大，只需要返回 答案 mod

109 +7 的值。

示例 1:

输入: n = 3, k = 0

输出: 1

解释: 
只有数组 [1,2,3] 包含了从1到3的整数并且正好拥有 0 个逆序对。
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示例 2:

输入: n = 3, k = 1

输出: 2

解释: 
数组 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 个逆序对。
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说明:

•  n 的范围是 [1, 1000] 并且 k 的范围是 [0, 1000]。

序列 DP

从

n 和

k 数据范围均为

103 可以看出这是一道二维的动态规划题。

定义

j 的数组个数。

不失一般性的考虑

f[i][j] 该如何计算，对第

i 个数（即数值为

i 的数）所在位置进行讨论，共有

i 种选择。

假设第

i 个数所在位置为

k，由于数值

i 为整个数组的最大值，因此数值

i 与前面所有数均不形成逆序对，与后面的所有数均形成逆序对。因此与数值

i 直接相关的逆向对的数量为

(i−1)−k，由此也得出与

i 不相关的逆序对数量为

j−(i−1−k)，而与

i 不相关的逆序对数量由

f[i−1][x] 可得出。

举个 🌰 帮助大家理解：

• 当数值

  $i$

  i 放置在下标为

  $0$

  0 的位置上，那么由数值

  $i$

  i 产生的逆序对数量为

  $i - 1$

  i−1，总的逆序对数量为

  $j$

  j，因此由数值范围为

  $[1, i - 1]$

  [1,i−1]（与数值

  $i$

  i 不相关）构成的逆序对数量为

  $j - (i - 1)$

  j−(i−1)，即

  $f[i - 1][j - (i - 1)]$

  f[i−1][j−(i−1)]；

• 当数值

  $i$

  i 放置在下标为

  $1$

  1 的位置上，那么由数值

  $i$

  i 产生的逆序对数量为

  $(i - 1) - 1$

  (i−1)−1，总的逆序对数量为

  $j$

  j，因此由数值范围为

  $[1, i - 1]$

  [1,i−1]（与数值

  $i$

  i 不相关）构成的逆序对数量为

  $j - (i - 1 - 1)$

  j−(i−1−1)，即

  $f[i - 1][j - (i - 1 - 1)]$

  f[i−1][j−(i−1−1)]；

  ...

• 当数值

  $i$

  i 放置在下标为

  $k$

  k 的位置上，那么由数值

  $i$

  i 产生的逆序对数量为

  $(i - 1) - k$

  (i−1)−k，总的逆序对数量为

  $j$

  j，因此由数值范围为

  $[1, i - 1]$

  [1,i−1]（与数值

  $i$

  i 不相关）构成的逆序对数量为

  $j - (i - 1 - k)$

  j−(i−1−k)，即

  $f[i - 1][j - (i - 1 - k)]$

  f[i−1][j−(i−1−k)]。

综上，最终

f[i][j] 转移方程为（

k 为数值

i 放置的位置）：

共有

n∗k 个状态，每个

f[i][j] 的计算需要枚举数值

i 所在位置并进行累加，总的复杂度为

O(n2∗k)，计算量为

109，会 TLE。

状态数量不可减少，考虑如何优化单个状态的转移过程。

不难发现

∑k=0i−1​(f[i−1][j−(i−1−k)]) 部分为上一次转移结果

f[i−1][x] 的某个前缀，可以使用前缀和数组进行优化，从而将计算单个状态的复杂度从

O(n) 降到

O(1)。

一些细节：为处理负数问题，我们可以在取模之前先加一次 mod；另外需要对

$j$

j 和

$i$

i 的大小进行分情况讨论，防止数值

$i$

i 放置的位置“过于靠前”导致组成逆序对的数量超过

$j$

j。

代码（

P1

P2 分别为使用 long 和不使用 long）：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        long[][] f = new long[n + 1][k + 1];
        long[][] sum = new long[n + 1][k + 1];
        f[1][0] = 1;
        Arrays.fill(sum[1], 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i][j] = j < i ? sum[i - 1][j] : sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - (i - 1) - 1];
                f[i][j] = (f[i][j] + mod) % mod;
                sum[i][j] = j == 0 ? f[i][j] : sum[i][j - 1] + f[i][j];
                sum[i][j] = (sum[i][j] + mod) % mod;
            }
        }
        return (int)f[n][k];
    }
}
复制代码

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        int[][] f = new int[n + 1][k + 1];
        int[][] sum = new int[n + 1][k + 1];
        f[1][0] = 1;
        Arrays.fill(sum[1], 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i][j] = j < i ? sum[i - 1][j] : (sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - (i - 1) - 1] + mod) % mod;
                sum[i][j] = j == 0 ? f[i][j] : (sum[i][j - 1] + f[i][j]) % mod;
            }
        }
        return f[n][k];
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：
  $O(n * k)$

  O(n∗k)

• 空间复杂度：
  $O(n * k)$

  O(n∗k)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.629 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。