动态规划攻略之：传递信息

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题目

小朋友 A 在和 ta 的小伙伴们玩传信息游戏，游戏规则如下：

有 n 名玩家，所有玩家编号分别为 0 ～ n-1，其中小朋友 A 的编号为 0
每个玩家都有固定的若干个可传信息的其他玩家（也可能没有）。传信息的关系是单向的（比如 A 可以向 B 传信息，但 B 不能向 A 传信息）。
每轮信息必须需要传递给另一个人，且信息可重复经过同一个人

给定总玩家数 n，以及按 [玩家编号,对应可传递玩家编号] 关系组成的二维数组 relation。返回信息从小 A (编号 0 ) 经过 k 轮传递到编号为 n-1 的小伙伴处的方案数；若不能到达，返回 0。

示例1：

输入：n = 5, relation = [[0,2],[2,1],[3,4],[2,3],[1,4],[2,0],[0,4]], k = 3

输出：3

解释：信息从小 A 编号 0 处开始，经 3 轮传递，到达编号 4。共有 3 种方案，分别是 0->2->0->4， 0->2->1->4， 0->2->3->4。
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示例2：

输入：n = 3, relation = [[0,2],[2,1]], k = 2

输出：0

解释：信息不能从小 A 处经过 2 轮传递到编号 2
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限制：

2 <= n <= 10
1 <= k <= 5
1 <= relation.length <= 90, 且 relation[i].length == 2
0 <= relation[i][0],relation[i][1] < n 且 relation[i][0] != relation[i][1]
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解题思路

假设当前我们已经走了 i 步，所在位置为 j，那么剩余的 k - i 步，能否到达位置 n - 1，仅取决于「剩余步数 k - i」和「边权关系 relation」，而与我是如何到达位置 i 无关。

而对于方案数而言，如果已经走了 i 步，所在位置为 j，到达位置 n - 1 的方案数仅取决于「剩余步数 i - k」、「边权关系 relation」和「花费 i 步到达位置 j 的方案数」。

定义 f[i][j] 为当前已经走了 i 步，所在位置为 j 的方案数。

那么 f[k][n - 1] 为最终答案，f[0][0] = 1 为显而易见的初始化条件。

不失一般性的考虑，f[i][j] 该如何转移，f[i][j] 应该为所有能够到达位置 j 的点 p 的 f[i - 1][p] 的总和：

代码实现

class Solution {
    public int numWays(int n, int[][] relation, int k) {
        int[][] dp = new int[k + 1][n];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            for (int[] edge : relation) {
                int src = edge[0], dst = edge[1];
                dp[i + 1][dst] += dp[i][src];
            }
        }
        return dp[k][n - 1];
    }
}
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最后

空间复杂度是: O(kn)

时间复杂度：O(km)O。其中 m 为 relation 数组的长度

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