对AVL树首先要弄清它的定义:AVL树是一棵高度平衡的二叉搜索树,它要么是一棵空树,要么是一棵左右子树均为AVL树,且左右子树高度差的绝对值不大于一的二叉搜索树
数据结构教科书介绍的AVL树平衡化旋转共有四种方式:LR左单旋转,RR右单旋转,LRR先左后右双旋转,RLR先右后左双旋转,LR和RR,LRR和RLR互为镜像,若不熟悉请参看数据结构教科书,下面要对保证AVL树插入删除操作正确性的原理进行简单的讨论。
当在AVL树中删除一个节点时(删除没有子树的单一根节点是平凡的,这里不予考虑),按对二叉搜索树执行删除节点操作时采用的方式找到待删除节点,但由二叉搜索树删除算法(请参看数据结构教科书)可知,待删除节点不一定是实际删除节点,在某些情况下待删除节点没有被实际删除,而是将非待删除节点的实际删除节点的数据域替换带删除节点的数据域,此后删除的是实际被删除的节点而不是带删除节点,当然在另一些情况下,待删除节点就是实际删除节点。这样每当按对二叉搜索树执行删除操作的方式成功删除(注意待删除节点未必被实际删除)AVL树中的待删除节点后,通过指针定位到实际被删除节点的父节点及该父节点的原先为被实际删除节点所在的子树的子树的根节点,设指向该父节点的指针为parent,指向该父节点的原先为实际被删除节点所在的子树的子树的根节点的指针为q(可能为NULL),那么分别讨论可知,无论在AVL树中对待删除节点执行的删除操作对应删除二叉搜索树中节点时可能出现的哪一种情形,以parent为根的子树总满足以下条件A:
1.以parent指向的节点为根节点的子树在执行删除操作前是AVL树(由AVL树定义)
2.以q指向的节点为根节点的子树在被删除一个节点后经过一系列或不经过平衡化旋转后,其高度相比删除前下降一,并且仍然为AVL树
以此为基础我们来寻找循环不变量
现假设在删除的过程中存在一棵以parent指向的节点为根节点的二叉搜索树,在对它的子树执行删除操作前它是AVL树且该树是执行删除操作前原AVL树的一棵子树,
若在parent的左子树或右子树上按对二叉搜索树执行删除的方式删除一个节点后经过一系列或不经过平衡化旋转后,该左子树或右子树的高度相比于删除前下降一并且仍然为AVL树(即parent树满足条件A),q为指向此时该左子树或右子树根节点的指针,则对parent树而言有如下几种情形:
情形A
以parent指向的节点为根节点的原AVL子树A在执行删除前根节点平衡因子为0,在parent的左子树上删除一个节点并做或不做平衡化旋转调整后左子树高度下降一,此时parent平衡因子变为1,由于作删除操作的原AVL树子树A满足条件A,以此为依据根据AVL树定义不难验证这时parent树仍然为AVL树,当然其高度相比于删除前没有任何变化,于是从树A根节点到原AVL树根节点的路径上各节点(除树A根节点)的平衡因子仍然和删除前相同,即这些节点仍然平衡,于是按AVL树的定义从A的根节点的父节点到原树根节点逐层向上递推,最后即得以A根节点到原树父节点的路径上的节点为根节点的子树均为AVL树,当然原树仍然为AVL树,于是可以结束平衡化过程
情形A*
和情形A对称,分析是类似的,此时对树A不做任何平衡化旋转,原树已平衡,结束平衡化过程
情形B
以parent指向的节点为根节点的原AVL树子树A在执行删除前根节点平衡因子为-1,在parent的左子树上删除一个节点并做或不做平衡化旋转调整后左子树高度下降一,此时parent平衡因子变为0,由于作删除操作的原AVL树子树A满足条件A,以此为依据根据AVL树定义不难验证这时parent树仍然为AVL树,且其高度相比于删除节点前下降一,此时不对A做任何平衡化旋转,这样就可以发现树A满足在树A上按对二叉搜索树执行删除的方式删除一个节点后经过一系列或不经过平衡化旋转后,树A的高度相比于删除前下降一并且仍然为AVL树,注意到树A高度降一影响到其根节点父节点(如果存在)平衡因子有可能使其失衡,所以令parent为树A根节点的父节点(如果有的话,没有平衡化过程结束),q为树A根节点回溯至上一层再按各种情形进行相应的处理。这样做是合理的,因为此时以q为根的子树(q为parent左子树或右子树根节点)刚好满足条件A,这样就能就各种情形以相同的方式进行同样的处理
情形B*
和情形B对称,分析是类似的,此时不做平衡化旋转,回溯至上一层(如果上一层父节点存在,没有则结束平衡化)继续平衡化
情形C
以parent指向的节点为根节点的原AVL树子树A右子树根节点平衡因子为0,在执行删除前根节点平衡因子为1,在parent的左子树上删除一个节点并做或不做平衡化旋转调整后左子树高度下降一,此时parent平衡因子变为2,树A失衡于是对树A做左单旋转,由于作删除操作的原AVL树子树A满足条件A,以此为依据根据AVL树定义不难验证左单旋转后的树A仍然为AVL树,且其高度相比于删除前没有任何变化,于是从树A根节点到原AVL树根节点的路径上各节点(除树A根节点)的平衡因子仍然和删除前相同,即这些节点仍然平衡,于是按AVL树的定义从A的根节点的父节点到原树根节点逐层向上递推,最后即得以A根节点到原树父节点的路径上的节点为根节点的子树均为AVL树,当然原树仍然为AVL树,这样就可以结束平衡化过程
情形C*
和情形C对称,分析是类似的,此时对树A做右单旋转,然后原树已平衡,结束平衡化过程
情形D
以parent指向的节点为根节点的原AVL树子树A右子树根节点平衡因子为1,在执行删除前根节点parent平衡因子为1,在parent的左子树上删除一个节点并做或不做平衡化旋转调整后左子树高度下降一,此时parent平衡因子变为2,树A失衡于是对树A做左单旋转。由于作删除操作的原AVL树子树A满足条件A,以此为依据根据AVL树定义不难验证左单旋转后的树A仍然为AVL树,且其高度相比于删除节点前下降一,这样就可以发现树A满足在树A上按对二叉搜索树执行删除的方式删除一个节点后经过一系列或不经过平衡化旋转后,树A的高度相比于删除前下降一并且仍然为AVL树,注意到树A高度降一影响到其根节点父节点(如果存在)平衡因子有可能使其失衡,所以令parent为树A根节点的父节点(如果有的话,没有则结束平衡化),q为树A根节点回溯至上一层再按各种情形进行相应的处理。这样做是合理的,因为此时以q为根的子树(q为parent左子树或右子树根节点)刚好满足条件A,这样就能就各种情形以相同的方式进行同样的处理
情形D*
和情形D对称,分析是类似的,此时对树A做右单旋转,然后回溯至上一层(如果上一层父节点存在,没有则结束平衡化)继续平衡化
情形E
以parent指向的节点为根节点的原AVL树子树A右子树根节点平衡因子为-1,在执行删除前根节点parent平衡因子为1,在parent的左子树上删除一个节点并做或不做平衡化旋转调整后左子树高度下降一,此时parent平衡因子变为2,树A失衡于是对树A做先右后左双旋转。由于作删除操作的AVL树A满足条件A,以此为依据根据AVL树定义不难验证先右后左双旋转后的树A仍然为AVL树,且其高度相比于删除节点前下降一,这样就可以发现树A满足在树A上按对二叉搜索树执行删除的方式删除一个节点后经过一系列或不经过平衡化旋转后,树A的高度相比于删除前下降一并且仍然为AVL树,注意到树A高度降一影响到其根节点父节点(如果存在)平衡因子有可能使其失衡,所以令parent为树A根节点的父节点(如果有的话,没有则结束平衡化),q为树A根节点回溯至上一层再按各种情形进行相应的处理。这样做是合理的,因为此时以q为根的子树(q为parent左子树或右子树根节点)刚好满足条件A,这样就能就各种情形以相同的方式进行同样的处理
情形E*
和情形E对称,分析是类似的,此时对树A做先左后右双旋转,然后回溯至上一层(如果上一层父节点存在,没有则结束平衡化)继续平衡化
从以上讨论就可以看出循环不变量了,它就是删除过程中当前parent子树满足的条件A,如果parent子树满足条件A且对应A,A 两种情形,则不做平衡化旋转并结束平衡化,如果对应C,C两种情形,则做单旋转并结束平衡化,如果对应B,B两种情形则不做平衡化旋转并回溯至上一层(如果上一层父节点存在)平衡化(以parent父节点为根的子树满足条件A),若对应D,D两种情形则做单旋转并回溯至上一层(如果上一层父节点存在)平衡化(以parent父节点为根的子树满足条件A),若对应E,E*两种情形,则做双旋转并回溯至上一层(如果上一层父节点存在)平衡化(以parent父节点为根的子树满足条件A).由此可以总结出删除AVL树某节点过程中经历的平衡化过程如下:
从本文开头提及的最初的parent子树开始,该parent子树满足条件A,q为指向以parent的子女为根节点的原先为被实际删除节点的子树的子树的根节点指针(可能为NULL).
AVL树删除算法(调整平衡因子的细节没有给出,请参考下方代码):
(1)在AVL树上执行二叉搜索树删除算法之后令parent为实际被删除节点的父节点,q为指向以parent的子女为根节点的原先为被实际删除节点的子树的子树的根节点指针(可能为NULL)
(2) if(parent子树对应于A,A C,C情形)
A,A*情形,直接转3
C情形 parent子树左单旋转, 然后转3
C*情形 parent子树右单旋转, 然后转3
else
B,B*情形 如果 parent为根节点转3 否则 q=parent parent=parent父节点转2
D情形 parent子树左单旋转 随后如果 parent为根节点转3 否则q=parent parent=parent父节点 转2
D*情形 parent子树右单旋转 随后如果 parent为根节点转3 否则q=parent parent=parent父节点 转2
E情形 parent子树先右后左双旋转 随后如果 parent为根节点转3 否则q=parent parent=parent父节点 转2
E*情形 parent子树先左后右双旋转 随后如果 parent为根节点转3 否则q=parent parent=parent父节点 转2
(3)结束
在这里发表一些个人看法,一些数据结构教科书上(如数据结构与算法分析:java语言描述)提到AVL树删除算法的正确编写有一定难度,实际上并非如此.从以上算法来看,编程实现时思路的推进完全是线性的,根本没有难度。非要说实现难度大,那也只能是琐碎的编码细节令人抓狂,事实上从
以上算法来看删除算法本质上非常简单,并不复杂,编写代码只需用心就能正确实现删除算法
下面讨论AVL树的插入
插入操作和删除相比更为简单,实现难度更低,分析插入操作还是要先寻找循环不变量
首先插入新节点后只有新节点父节点至根节点的路径上的节点的平衡因子受影响,以路径上各节点为根的子树的高度要么加一要么不变,即平衡因子要么加减一要么不变。因此路径上各节点的平衡因子在插入新节点后的范围在-2至2之间
按最一般情形考虑(在空树中插入是最平凡的情形,这里不予考虑),按二叉搜索树插入方式插入新节点后,令parent为新插入节点父节点,q为新插入节点。若插入后parent平衡因子(不是为+-1就是为0)为0,则根据定义不难验证原树已平衡为AVL树,这样就可以结束平衡化过程,若平衡因子为+-1(插入前parent为叶节点),则令q=parent,parent为其父节点,这样子树q满足条件B:
q为AVL树 插入前q平衡因子为0,插入后绝对值为1,q高度相比于插入前加一,且此时没有对q或其子树做平衡化旋转
这样设插入过程中当前存在一棵原AVL树的子树,根节点为parent,parent的按二叉搜索树插入方式插入节点的子树根节点为q,子树q满足条件B。根据节点插入parent右子树或左子树加减parent平衡因子,调整parent平衡因子为插入后平衡因子。然后,
如果parent平衡因子为+-1,则插入前为0,且parent高度相比于插入前加一,插入后parent仍然为AVL树,此时不对parent进行平衡化旋转,由于parent插入后高度加一parent父节点(如果存在)的平衡因子受到影响,因此令q=parent,parent=parent父节点,回溯到上一层(如果上一层父节点存在,否则结束平衡化)按所列各情形进行平衡化操作。这样做是合理的,因为根据上述分析回溯到上一层后子树q满足条件B,所以完全可以按照各情形以相同方式进行相同处理
如果parent平衡因子为0,则插入前parent平衡因子绝对值为1,即新节点在较矮的子树上插入,插入后parent左右子树等高,不难看出插入后parent子树仍为AVL树且高度相比于插入前不变,于是沿从parent父节点到原AVL树根节点的路径层层向上递推即可验证插入后原树仍为AVL树,故此时可结束平衡化过程
若parent平衡因子绝对值为2,则有以下几种情形:
情形一:
插入后parent平衡因子为-2,q平衡因子为-1,即在q的左子树上插入,左子树在插入后高度加一,q为parent左子树,此时直接对parent做右单旋转,根据做平衡化旋转前的parent树满足条件B和AVL树定义可验证旋转后parent仍然为AVL树,且高度相比于插入前不变,这样原树已平衡,直接结束平衡化过程
情形一*
和情形一对称,插入后parent平衡因子为2,q平衡因子为1,即在q的右子树上插入,右子树在插入后高度加一,q为parent右子树,此时对parent做左单旋转并结束平衡化过程
情形二:
插入后parent平衡因子为-2,q平衡因子为1,即在q的右子树上插入,q为parent左子树,q的右子树插入后高度增一,故必有q的右子女p(树C的根)。由于是在子树p上插入,所以p一定为从最初的parent子树的根节点至q的回溯路径上的一个节点,因此插入后p的平衡因子为+-1,插入前为0,因此一定为在p的两棵等高子树之一上插入,插入后子树p的高度状况如上图所示,此时直接对parent做先左后右双旋转,根据做平衡化旋转前的parent树满足条件B和AVL树定义可验证旋转后parent仍然为AVL树,且高度相比于插入前不变,这样原树已平衡,直接结束平衡化过程
情形二*
和情形二对称,分析是类似的,插入后parent平衡因子为2,q平衡因子为-1,即在q的左子树上插入,q为parent右子树,q的左子树插入后高度增一,故必有q的左子女p(树C的根)。由于是在子树p上插入,所以p一定为从最初的parent子树的根节点至q的回溯路径上的一个节点,因此插入后p的平衡因子为+-1,插入前为0,因此一定为在p的两棵等高子树之一上插入,插入后子树p的高度状况如上图所示,此时直接对parent做先右后左双旋转,根据做平衡化旋转前的parent树满足条件B和AVL树定义可验证旋转后parent仍然为AVL树,且高度相比于插入前不变,这样原树已平衡,直接结束平衡化过程
由以上讨论可以看出循环不变量就是子树q满足的条件B,如果插入过程中如上述检查parent子树发现其满足条件B,那么若parent在插入后的平衡因子绝对值为1,则令q=parent parent=parent父节点 回溯到上一层继续按文中列出的情形进行平衡化,若parent在插入后的平衡因子为0,则直接结束平衡化过程,若parent在插入后的平衡因子绝对值为2,此时若parent子树对应情形一则对parent子树执行右单旋转并结束平衡化过程,对应情形一则对parent子树执行左单旋转并结束平衡化过程,对应情形二则对parent子树执行先左后右双旋转并结束平衡化过程,对应情形二则对parent子树执行先右后左双旋转并结束平衡化过程。
根据上述分析按和分析删除操作类似的方式就可以总结出AVL树的插入算法,可以自行分析,这里就不赘述了。
下面是删除与插入操作的具体代码实现,代码中加入判断是否为AVL树的代码(非递归)以检验删除操作的正确性,也就是每次删除插入成功后用判断函数检验删除插入后的二叉树是否为AVL树,从而检验插入删除算法的正确性
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968
|
#include <vector> #include <iostream> #include <string> #include <cmath> #include <algorithm> #include <random> #include <ctime> using namespace std;
#define TYPE int template <typename T> struct //AVL树节点类 { int bf; T data; AVLNode* left; AVLNode* right; AVLNode(int b, T d) :bf(b), data(d), left(nullptr), right(nullptr) {} };
template <typename T> void RotateLR(AVLNode<T>*& ptr) { AVLNode<T>* p = ptr->left; AVLNode<T>* q = p->right; p->right = q->left; q->left = p; ptr->left = q->right; q->right = ptr; if (q->bf == 0) { p->bf = ptr->bf = 0; } else { if (q->bf == -1) { p->bf = 0; ptr->bf = 1; } else { p->bf = -1; ptr->bf = 0; } q->bf = 0; } ptr = q; }
template <typename T> void RotateRL(AVLNode<T>*& ptr) { AVLNode<T>* p = ptr->right; AVLNode<T>* q = p->left; p->left = q->right; q->right = p; ptr->right = q->left; q->left = ptr; if (q->bf == 0) { p->bf = ptr->bf = 0; } else { if (q->bf == -1) { p->bf = 1; ptr->bf = 0; } else { p->bf = 0; ptr->bf = -1; } q->bf = 0; } ptr = q; }
template <typename T> void RotateR(AVLNode<T>*& ptr) { AVLNode<T>* p = ptr->left; ptr->left = p->right; p->right = ptr; if (p->bf == -1) { p->bf = ptr->bf = 0; } else { p->bf = 1; } ptr = p; }
template <typename T> void RotateL(AVLNode<T>*& ptr) { AVLNode<T>* p = ptr->right; ptr->right = p->left; p->left = ptr; if (p->bf == 0) { p->bf = -1; ptr->bf = 1; } else { ptr->bf = p->bf = 0; } ptr = p; }
template <typename T> bool isAVL(AVLNode<T>* root) { struct temp { T lmin; T lmax; T rmin; T rmax; }; struct memory { AVLNode<T>* p; int direction; temp minmax; int lh = 0; int rh = 0; memory(AVLNode<T>* p, int d) :p(p), direction(d) {} }; int d = 0; AVLNode<T>* ptr = root; AVLNode<T>* const dest = ptr; stack<memory> arrange; bool TF = false; while (true) { if (Searchd(ptr, d) == 0) { if (ptr == dest) { if (d == 0) return true; else { if (ptr->left == nullptr || ptr->right != nullptr) { if (ptr->data < arrange.top().minmax.rmin) { if (abs(arrange.top().rh - arrange.top().lh) > 1) { cout << "存在左右子树高度差绝对值大于一的子树,原树非AVL树" << endl; return false; } arrange.pop(); } else { cout << "当前树非二叉搜索树,也非AVL树" << endl; return false; } } else { if (ptr->data > arrange.top().minmax.lmax) { if (abs(arrange.top().rh - arrange.top().lh) > 1) { cout << "存在左右子树高度差绝对值大于一的子树,原树非AVL树" << endl; return false; } arrange.pop(); } else { cout << "当前树非二叉搜索树,也非AVL树" << endl; return false; } } return true; } } else { if (d == 0) { if (arrange.top().direction == 1) { arrange.top().lh = 1; arrange.top().minmax.lmin = ptr->data; arrange.top().minmax.lmax = ptr->data; } else { arrange.top().rh = 1; arrange.top().minmax.rmin = ptr->data; arrange.top().minmax.rmax = ptr->data; } } else { if (ptr->left == nullptr || ptr->right != nullptr) { if (ptr->data < arrange.top().minmax.rmin) { temp temp1 = arrange.top().minmax; int leftheight = arrange.top().lh; int rightheight = arrange.top().rh; arrange.pop();
if (arrange.top().direction == 1) { if (ptr->left == nullptr) { arrange.top().minmax.lmin = ptr->data; } else { arrange.top().minmax.lmin = temp1.lmin; } arrange.top().minmax.lmax = temp1.rmax;
if (abs(rightheight - leftheight) > 1) { cout << "存在左右子树高度差绝对值大于一的子树,原树非AVL树" << endl; return false; } else { arrange.top().lh = max(leftheight, rightheight) + 1; } } else { if (ptr->left == nullptr) { arrange.top().minmax.rmin = ptr->data; } else { arrange.top().minmax.rmin = temp1.lmin; } arrange.top().minmax.rmax = temp1.rmax;
if (abs(rightheight - leftheight) > 1) { cout << "存在左右子树高度差绝对值大于一的子树,原树非AVL树" << endl; return false; } else { arrange.top().rh = max(leftheight, rightheight) + 1; } } } else { cout << "当前树非二叉搜索树,也非AVL树" << endl; return false; } } else { if (ptr->data > arrange.top().minmax.lmax) { temp temp1 = arrange.top().minmax; int leftheight = arrange.top().lh; int rightheight = arrange.top().rh; arrange.pop(); if (arrange.top().direction == 1) { arrange.top().minmax.lmin = temp1.lmin; arrange.top().minmax.lmax = ptr->data;
if (abs(rightheight - leftheight) > 1) { cout << "存在左右子树高度差绝对值大于一的子树,原树非AVL树" << endl; return false; } else { arrange.top().lh = max(leftheight, rightheight) + 1; } } else { arrange.top().minmax.rmin = temp1.lmin; arrange.top().minmax.rmax = ptr->data;
if (abs(rightheight - leftheight) > 1) { cout << "存在左右子树高度差绝对值大于一的子树,原树非AVL树" << endl; return false; } else { arrange.top().rh = max(leftheight, rightheight) + 1; } } } else { cout << "当前树非二叉搜索树,也非AVL树" << endl; return false; } } } ptr = arrange.top().p; d = arrange.top().direction; } } else { AVLNode<T>* interval = nullptr; if (d == 0) { arrange.push(memory(ptr, Searchd(ptr, d))); if (arrange.top().direction == 1) interval = ptr->left; else interval = ptr->right; } else { if (!(ptr->data > arrange.top().minmax.lmax)) { cout << "当前树非二叉搜索树,也非AVL树" << endl; return false; } arrange.top().direction = 2; interval = ptr->right; } d = 0; ptr = interval; } } }
template <typename T> void linkWithUpper(AVLNode<T>* parent, AVLNode<T>* original, AVLNode<T>* _new) { if (original == parent->left) { parent->left = _new; } else { parent->right = _new; } }
template <typename T> AVLNode<T>* DelAVL(AVLNode<T>* root, T key) { AVLNode<T>* p = root; stack<AVLNode<T>*> stackforflashback; while (p != nullptr) { if (p->data == key) break; else { stackforflashback.push(p); if (key < p->data) { p = p->left; } else { p = p->right; } } }
if (p != nullptr) { AVLNode<T>* parent = nullptr; AVLNode<T>* q = nullptr; if (p->left != nullptr && p->right != nullptr) { q = p->right; if (q->left != nullptr) { parent = p; stackforflashback.push(parent); while (q->left != nullptr) { parent = q; q = q->left; if (q->left != nullptr) stackforflashback.push(parent); } parent->left = q->right; p->data = q->data; delete q; q = parent->left;
} else { p->right = q->right; p->data = q->data; delete q; parent = p; q = p->right; } } else { if (p->left != nullptr) { if (stackforflashback.empty() == false) { parent = stackforflashback.top(); stackforflashback.pop(); if (parent->left == p) { parent->left = p->left; delete p; q = parent->left; } else { parent->right = p->left; delete p; q = parent->right; } } else { parent = p->left; delete p; return parent; } } else if (p->right != nullptr) { if (stackforflashback.empty() == false) { parent = stackforflashback.top(); stackforflashback.pop(); if (parent->left == p) { parent->left = p->right; delete p; q = parent->left; } else { parent->right = p->right; delete p; q = parent->right; } } else { parent = p->right; delete p; return parent; } } else { if (stackforflashback.empty() == false) { parent = stackforflashback.top(); stackforflashback.pop(); if (parent->left == p) { parent->left = nullptr; delete p; q = parent->left; } else { parent->right = nullptr; delete p; q = parent->right; } } else { parent = nullptr; delete p; return parent; } } } bool TF = false; do { if (TF == true) stackforflashback.pop(); else TF = true;
if ((parent->bf == 1 || parent->bf == -1) && q == nullptr && parent->right == nullptr && parent->left == nullptr) { parent->bf = 0; if (stackforflashback.empty() == false) { q = parent; parent = stackforflashback.top(); continue; } else { return root; }
}
if (parent->left == q) { if (parent->bf == 0) { parent->bf = 1; return root; } else if (parent->bf == -1) { parent->bf = 0; q = parent; if (stackforflashback.empty() == false) { parent = stackforflashback.top(); } } else { p = parent->right; q = parent; if (p->bf == 0) { if (stackforflashback.empty() == false) { RotateL(parent); linkWithUpper(stackforflashback.top(), q, parent); } else { RotateL(parent); } if (q == root) { return parent; } else { return root; } } else if (p->bf == 1) { RotateL(parent); } else { RotateRL(parent); }
if (stackforflashback.empty() == false) { linkWithUpper(stackforflashback.top(), q, parent); q = parent; parent = stackforflashback.top(); } else { q = parent; } } } else { if (parent->bf == 0) { parent->bf = -1; return root; } else if (parent->bf == 1) { parent->bf = 0; q = parent; if (stackforflashback.empty() == false) { parent = stackforflashback.top(); } } else { p = parent->left; q = parent; if (p->bf == 0) { if (stackforflashback.empty() == false) { RotateR(parent); linkWithUpper(stackforflashback.top(), q, parent); } else { RotateR(parent); } if (q == root) { return parent; } else { return root; } } else if (p->bf == -1) { RotateR(parent); } else { RotateLR(parent); }
if (stackforflashback.empty() == false) { linkWithUpper(stackforflashback.top(), q, parent); q = parent; parent = stackforflashback.top(); } else { q = parent; } } } } while (stackforflashback.empty() == false); return q; } else { cout << "AVL树中不存在要删除的数据元素,删除失败" << endl; return nullptr; } }
template <typename T> AVLNode<T>* InsertAVL(AVLNode<T>* root, T key) { if (root == nullptr) return new AVLNode<T>(0, key); else { stack<AVLNode<T>*> stackforflashback; AVLNode<T>* p = root; while (p != nullptr) { stackforflashback.push(p); if (key < p->data) p = p->left; else if (key > p->data) p = p->right; else { cout << "要插入的关键字在AVL树中已存在,插入失败" << endl; return nullptr; } }
p = new AVLNode<T>(0, key); if (key < stackforflashback.top()->data) { stackforflashback.top()->left = p; } else { stackforflashback.top()->right = p; }
AVLNode<T>* parent = nullptr; while (stackforflashback.empty() == false) { parent = stackforflashback.top(); stackforflashback.pop(); if (parent->left == p) { --parent->bf; if (parent->bf == 0) { return root; } else if (parent->bf == -2) { AVLNode<T>* q = parent; if (p->bf == 1) { RotateLR(parent); } else { RotateR(parent); }
if (stackforflashback.empty() == false) { linkWithUpper(stackforflashback.top(), q, parent); }
if (q == root) return parent; else return root; } else { p = parent; } } else { ++parent->bf; if (parent->bf == 0) { return root; } else if (parent->bf == 2) { AVLNode<T>* q = parent; if (p->bf == -1) { RotateRL(parent); } else { RotateL(parent); }
if (stackforflashback.empty() == false) { linkWithUpper(stackforflashback.top(), q, parent); } if (q == root) return parent; else return root; } else { p = parent; } } } return p; } }
template <typename T> int Searchd(AVLNode<T>* ptr, int d) { if (d == 2) return 0; else { if (d == 1) { if (ptr->right == nullptr) return 0; else return 2; } else { if (ptr->left != nullptr) return 1; else { if (ptr->right != nullptr) return 2; else return 0; } } } }
template <typename T> void output(AVLNode<T>* ptr) { struct memory { AVLNode<T>* p; int direction; int last; memory(AVLNode<T>* p, int d, int l) :p(p), direction(d), last(l) {} }; int d = 0; AVLNode<T>* const dest = ptr; stack<memory> arrange; while (true) { if (Searchd(ptr, d) == 0) { if (ptr == dest) { if (d == 0) cout << ptr->data << "("; else { if (arrange.top().last == 1) cout << ", "; } cout << ")"; break; } else { if (d == 0) { if (arrange.top().last == 0) { if (arrange.top().direction == 1) { cout << ptr->data; arrange.top().last = 1; } else { cout << " ," << ptr->data; arrange.top().last = 2; } } else { cout << ","; cout << ptr->data; arrange.top().last = 2; } } else { if (arrange.top().last == 2) cout << ")"; else { cout << ", )"; } arrange.pop(); } ptr = arrange.top().p; d = arrange.top().direction; } } else { AVLNode<T>* interval = nullptr; if (d == 0) { if (arrange.empty() == false) { if (arrange.top().last == 0) { if (arrange.top().direction == 1) { cout << ptr->data << "("; arrange.top().last = 1; } else { cout << " ," << ptr->data << "("; arrange.top().last = 2; } } else { cout << ","; cout << ptr->data << "("; arrange.top().last = 2; } } else { cout << ptr->data << "("; } arrange.push(memory(ptr, Searchd(ptr, d), 0)); if (arrange.top().direction == 1) interval = ptr->left; else interval = ptr->right; } else { arrange.top().direction = 2; interval = ptr->right; } d = 0; ptr = interval; } } } int main() { const int N = 20; vector<TYPE> insertvalue; for (int i = 1; i <= N; ++i) { insertvalue.push_back(i); }
shuffle(insertvalue.begin(), insertvalue.end(), default_random_engine(time(nullptr))); AVLNode<TYPE>* root = nullptr; for (vector<TYPE>::const_iterator p = insertvalue.cbegin(); p != insertvalue.cend(); ++p) { cout << "插入节点" << *p << endl; root = InsertAVL(root, *p); output(root); cout << endl; if (isAVL(root) == true) { cout << "当前树是AVL树"; cout << endl; } else { cerr << "错误当前树不是AVL树!" << endl; exit(0); } } cout << endl; cout << "插入完成后删除前AVL树对应的广义表形式为:" << endl; output(root); cout << endl; cout << endl; for (vector<TYPE>::const_iterator p = insertvalue.cbegin(); p != insertvalue.cend(); ++p) { cout << "删除节点" << *p << endl; root = DelAVL(root, *p); if (root != nullptr) { output(root); cout << endl; if (isAVL(root) == true) { cout << "当前树是AVL树"; cout << endl; } else { cerr << "错误当前树不是AVL树!" << endl; exit(0); } } else cout << "NULL"; cout << endl; } return 0; }
|
运行结果:
近期评论