矩阵章节总结

1. $ {AB}= {BA}$时，矩阵运算满足交换律，故以下运算皆成立

   $(mathrm{i})( {A}pm {B})^2= {A}^2 pm 2 {AB} + {B}^2$

   $(mathrm{ii})( {A}+ {B})( {A}- {B})= {A}^2- {B}^2$

   $(mathrm{iii})( {AB})^2=( {BA})^2$

2. $ {A}^*， {A}’， {A}^{-1}$组合会产生十分令人头疼的问题，使用以下公式来缓解头疼

   $(mathrm{i})( {AB})’= {B}’ {A}’$

   $(mathrm{ii})( {AB})^{-1}= {B}^{-1} {A}^{-1}$

   $(mathrm{iii})( {A}^*)^{-1}=( {A}^{-1})^*$

3. 带系数的情况

   $(mathrm{i})|k {A}|=k^n| {A}|$

   $(mathrm{ii})(k {A})^{-1}=frac1{k} {A}^{-1}$

   $(mathrm{iii})(k {A})’=k {A}’$

   $(mathrm{iv})overline{k {A}}=overline{k}overline{ {A}}$

记住以下四个公式，以备突然考到

$(mathrm{i})overline{ {A}+ {B}}=overline{ {A}}+overline{ {B}}$

$(mathrm{ii})overline{k {A}}=overline{k}overline{ {A}}$

$(mathrm{iii})overline{ {AB}}=overline{ {A}}overline{ {B}}$

$(mathrm{iv})|overline{ {A}}|=overline{| {A}|}$

简单地记，凡是涉及共轭的题目，计算的时候看起来能取共轭的都取共轭

1. 看到$ {A}^*$，以下公式至少用其一

   $(mathrm{i}) {A}^* {A}= {A} {A}^*=| {A}| {E}$

   $(mathrm{ii}) {A}^{-1}=frac{ {A}^*}{| {A}|}$

   $(mathrm{iii})| {A}^*|=| {A}|^{n-1}$

   $(mathrm{iv})( {A}^*)^*=| {A}|^{n-2} {A}$

2. 伴随矩阵的特殊性质：极端的伴随矩阵

   $${R}({A}^*)=begin{cases} n,quad {R}({A})=n\ 1,quad {R}({A})=n-1\ 0,quad {R}({A})<n-1 end{cases}$$

1. 判断矩阵可逆的方法：

   $(mathrm{i}) {AB}= {BA}=E$

   $(mathrm{ii}) {R}( {A})=n$

   $(mathrm{iii})| {A}|=0$

   $(mathrm{iv}) {A}= {P}_1 {P}_2 dots {P}_k$

2. 初变不变秩，不变奇异性

3. 行阶梯、行最简、标准形

4. 求逆方法：公式法、辅助矩阵法

1. 对角方阵求逆（仅对对角方阵有效）：

   $$left(begin {array}{ccc} {A}_{11}& & & &\ & {A}_{22}& & &\ & & ddots & &\ & & & {A}_{ss}& end {array}right)^m = left(begin {array}{ccc} {A}_{11}^m& & & &\ & {A}_{22}^m& & &\ & & ddots & &\ & & & {A}_{ss}^m& end {array}right)$$

2. 特殊矩阵求逆矩阵，是否还应保持原来的顺序：

   $(mathrm{i})$主对角：$searrow$仍为$searrow$

   $(mathrm{ii})$次对角：$swarrow$变为$nearrow$

3. 思想：运用第三类初等变换

   $$left|begin{array}{cccc} {A} & {C} \ {D} & {B} end{array} right|=|{A}||{B}-{DA}^{-1}{C}|$$

4. 分块矩阵的秩（高频使用，按重要性降序排列）：

   $(mathrm{i})R(A+B)leq R(A)+R(B),quad R(A-B)leq R(A)+R(B)$

   $(mathrm{ii})R(AB)leq min{R(A),R(B)}$

   $(mathrm{iii})R(A|B)leq R(A)+R(B),quad R(frac{A}{B})leq R(A)+R(B)$

   $(mathrm{iv})R left(begin{array}{ccc} A & 0\0 & B end{array} right)=R(A)+R(B)$

   $(mathrm{v})R left(begin{array}{ccc} A & C\0 & B end{array} right)ge R(A)+R(B)$，若$A$，$B$其一可逆则取等

   $(mathrm{vi})$设$A$为$mtimes n$矩阵，$B$为$ntimes p$矩阵（有时题目条件会简化为$A$、$B$为同阶方阵），则$R(AB) ge R(A)+R(B)-n$；特别地，当$AB=0$时，$R(A)+R(B)le n$

   $(mathrm{iii})(mathrm{iv})(mathrm{v})$皆易证

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   ~我们遇到什么困难也不要怕，微笑着面对它！消除恐惧的最好办法就是面对恐惧！坚持就是胜利！加油！奥利给！~