367.有效的完全平方数:「二分」&「数学」

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题目描述

这是 LeetCode 上的 367. 有效的完全平方数 ，难度为 简单。

Tag : 「二分」、「数学」

给定一个 正整数

num ，编写一个函数，如果

num 是一个完全平方数，则返回

true ，否则返回

false 。

进阶：不要使用任何内置的库函数，如  sqrt。

示例 1：

输入：num = 16

输出：true
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示例 2：

输入：num = 14

输出：false
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提示：

• 
  $1 <= num <= 2^{31} - 1$

  1<=num<=231−1

二分

假如答案为

ans，那么以

ans 为分割点的数轴上具有二段性：

• 小于
  $ans$

  ans 的一段

  $x$

  x 必然不满足

  $x * x \geq num$

  x∗x≥num；

• 大于等于
  $ans$

  ans 的一段

  $x$

  x 必然满足

  $x * x \geq num$

  x∗x≥num。

因此可以通过「二分」来找到分割点

ans。

代码：

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        long l = 0, r = num;
        while (l < r) {
            long mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mid * mid <= num) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r * r == num;
    }
}
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• 时间复杂度：
  $O(\log{n})$

  O(logn)

• 空间复杂度：
  $O(1)$

  O(1)

数学

我们知道对于一个完全平方数而言，可以写成如下形式：

因此另外一种做法是对

num 进行不断的奇数试减，如果最终能够减到

0，说明

num 可展开成如

1+3+5+...+(2∗n−1) 的形式，

num 为完全平方数。

代码：

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int x = 1;
        while (num > 0) {
            num -= x;
            x += 2;
        }
        return num == 0;
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：
  $O(\sqrt{n})$

  O(n​)

• 空间复杂度：
  $O(1)$

  O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.367 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour…

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。