【刷穿LeetCode】470.用Rand7()实现

题目描述

这是 LeetCode 上的 470. 用 Rand7() 实现 Rand10() ，难度为 中等。

Tag : 「位运算」、「数学」

已有方法 rand7 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。

不要使用系统的 Math.random() 方法。

示例 1:

输入: 1

输出: [7]
复制代码

示例 2:

输入: 2

输出: [8,4]
复制代码

示例 3:

输入: 3

输出: [8,1,10]
复制代码

提示:

1. rand7 已定义。
2. 传入参数: n 表示 rand10 的调用次数。

进阶:

• rand7()调用次数的 期望值 是多少 ?
• 你能否尽量少调用 rand7() ?

基本分析

给定一个随机生成

1 ~

7 的函数，要求实现等概率返回

1 ~

10 的函数。

首先需要知道，在输出域上进行定量整体偏移，仍然满足等概率，即要实现

0 ~

6 随机器，只需要在 rand7 的返回值上进行

−1 操作即可。

但输出域的 拼接/叠加 并不满足等概率。例如 rand7() + rand7() 会产生

[2,14] 范围内的数，但每个数并非等概率：

• 产生
  $2$

  2 的概率为：

  $\frac{1}{7} * \frac{1}{7} = \frac{1}{49}$

  71​∗71​=491​

• 产生
  $4$

  4 的概率为：

  $\frac{1}{7} * \frac{1}{7} + \frac{1}{7} * \frac{1}{7} + \frac{1}{7} * \frac{1}{7} = \frac{3}{49}$

  71​∗71​+71​∗71​+71​∗71​=493​

在

[2,14] 这

13 个数里面，等概率的数值不足

10 个。

因此，你应该知道「执行两次 rand7() 相加，将

[1,10] 范围内的数进行返回，否则一直重试」的做法是错误的。

$k$

k 进制诸位生成 + 拒绝采样

上述做法出现概率分布不均的情况，是因为两次随机值的不同组合「相加」的会出现相同的结果（

(1,3)、

(2,2)、

(3,1) 最终结果均为

4）。

结合每次执行 rand7 都可以看作一次独立事件。我们可以将两次 rand7 的结果看作生成

7 进制的两位。从而实现每个数值都唯一对应了一种随机值的组合（等概率），反之亦然。

举个🌰，设随机执行两次 rand7 得到的结果分别是

4（第一次）、

7（第二次），由于我们是要

7 进制的数，因此可以先对 rand7 的执行结果进行

−1 操作，将输出域偏移到

[0,6]（仍为等概率），即得到

3（第一次）和

6（第二次），最终得到的是数值

(63)7​，数值

(63)7​ 唯一对应了我们的随机值组合方案，反过来随机值组合方案也唯一对应一个

7 进制的数值。

那么根据「进制转换」的相关知识，如果我们存在一个 randK 的函数，对其执行

[0,Kn−1] 范围内的数值。

回到本题，执行一次 rand7 只能产生

[0,6] 范围内的数值，不足

10 个；而执行

2 次 rand7 的话则能产生

[0,48] 范围内的数值，足够

10 个，且等概率。

我们只需要判定生成的值是否为题意的

[1,10] 即可，如果是的话直接返回，否则一直重试。

代码：

class Solution extends SolBase {
    public int rand10() {
        while (true) {
            int ans = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1); // 进制转换
            if (1 <= ans && ans <= 10) return ans;
        }
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：期望复杂度为
  $O(1)$

  O(1)，最坏情况下为

  $O(\infty)$

  O(∞)

• 空间复杂度：
  $O(1)$

  O(1)

进阶

1. 降低对 rand7 的调用次数

我们发现，在上述解法中，范围

[0,48] 中，只有

[1,10] 范围内的数据会被接受返回，其余情况均被拒绝重试。

为了尽可能少的调用 rand7 方法，我们可以从

[0,48] 中取与

[1,10] 成倍数关系的数，来进行转换。

我们可以取

[0,48] 中的

[1,40] 范围内的数来代指

[1,10]。

首先在

[0,48] 中取

[1,40] 仍为等概率，其次形如

x1 的数值有

4 个（

1、

11、

21、

31），形如

x2 的数值有

4 个（

2、

12、

22、

32）... 因此最终结果仍为等概率。

代码：

class Solution extends SolBase {
    public int rand10() {
        while (true) {
            int ans = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1); // 进制转换
            if (1 <= ans && ans <= 40) return ans % 10 + 1;
        }
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：期望复杂度为
  $O(1)$

  O(1)，最坏情况下为

  $O(\infty)$

  O(∞)

• 空间复杂度：
  $O(1)$

  O(1)

2. 计算 rand7 的期望调用次数

在

[0,48] 中我们采纳了

[1,40] 范围内的数值，即以调用两次为基本单位的话，有

4940​ 的概率被接受返回（成功）。

成功的概率为

4940​，那么需要触发成功所需次数（期望次数）为其倒数

4049​=1.225，每次会调用两次 rand7，因而总的期望调用次数为

1.225∗2=2.45 。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.470 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。